Problemi Normale AA 1997/98 N2

[Sk_Anonymous]

Si dice che un punto P esterno a una circonferenza C “vede” la circonferenza sotto un angolo
1) Data una circonferenza C e un angolo A di ampiezza $alpha$ > 0, costruire il luogo dei punti del piano che vedono C sotto l’angolo $alpha$;
2) date due circonferenze C, C' e raggi R, R' esterne l’una all’altra, di centri O, O' rispettivamente, costruire il luogo L dei punti del piano che vedono le due circonferenze sotto lo stesso angolo;

3)dire (in termini dei dati) in che intervallo varia l’angolo di visuale al variare di P in L e quali sono i punti in L dove tale angolo è minimo e massimo.

[Pachisi]

1. Viene una circonferenza concentrica con la prima.
2. Sia $P$ un punto esterno. Siano $PA$ una tangente a $C$ e $PB$ una a $C'$. Allora, $hat{APO}=hat{BPO'}$. Allora i triangoli $APO$ e $BPO'$ sono simili. Dunque, il luogo dei punti è dato da tutti i punti $P$ tali che $\frac{PO}{PO'}=\frac{R}{R'}$.
Se $R=R'$, abbiamo $PO=PO'$, dunque il luogo è l'asse del segmento $OO'$.
Se $R \ne R'$, allora il luogo è la circonferenza di Apollonio del triangolo $OPO'$ relativa al lato $OO'$.
3. Siano $Q$ e $S$ i punti di intersezione della retta $OO'$ con la circonferenza di Apollonio descritta sopra. Sia $S$ il punto d'intersezione sul lato $OO'$ e $Q$ l'altro.
Se $R \ne R'$ l'angolo è massimo quando $P$ coincide con $S$ e minimo quando coincide con $Q$.
Se $R=R'$, il luogo è l'asse di $OO'$ e quindi l'angolo è massimo quando $P$ è il punto medio di $OO'$. Non esiste minimo in questo caso (credo).

[Sk_Anonymous]

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