Semplice disuguaglianza
Per \(a_i > 0 \) e \(n \in \mathbb{N} \) mostrare che \[ \sum_{i=1}^n a_i \le 1 \quad \Longrightarrow \quad \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i} \ge n^2.\]
Ci sono almeno tre modi diversi di dimostrarla. Io ne ho trovato uno, parlando con amici ne son saltati fuori altri due.
Ci sono almeno tre modi diversi di dimostrarla. Io ne ho trovato uno, parlando con amici ne son saltati fuori altri due.
Risposte
Usare la disuguaglianza tra media aritmetica e armonica dovrebbe funzionare
Si', entrambe funzionano. Io avevo pensato a questo: si ha \[ \frac{1}{a_i} \ge \frac{a_1}{a_i} + \dots + \frac{a_n}{a_i} \] e (almeno) uno dei termini di RHS e' \(=1 \). Si puo' anche assumere wlog che \( 0< a_1 \le a_2 \le \dots \le a_n \le 1 \). Quando si vanno a sommare gli \( 1 /a_i\), a RHS si formano "coppie" del tipo \(a_s / a_r + a_r / a_s \ge 2 \) usando \( (a-b)^2 \ge 0 \) per ogni \( a,b \in \mathbb{R}.\) Il numero delle "coppie" e' esattamente \( n(n-1)/2\).