Una disuguaglianza col coseno

[Sk_Anonymous]

Un esercizietto: per \(p \in (0,1)\) e \(\theta \in [0,\pi/2]\) mostrare che vale \[ \cos(\theta)^p \le \cos(p \theta).\]

[Vincent46]

"Delirium":Un esercizietto: per \(p \in (0,1)\) e \(\theta \in [0,\pi/2]\) mostrare che vale \[ \cos(\theta)^p \le \cos(p \theta).\]

Per monotonia del logaritmo, la tesi equivale a
$p \log(cos\theta) \leq \log(\cos p\theta)$.
Per concavità del coseno su $[0, \pi/2]$, vale
$$\cos(p\theta) = \cos(p\theta + (1-p)*0) \geq p\cos(\theta) + (1-p).$$
Passando al logaritmo e sfruttandone la concavità,
$$\log(\cos(p\theta)) \geq \log (p\cos(\theta) + (1-p)*1) \geq p\log(\cos(\theta)) + (1-p)\log(1) = p\log(\cos(\theta)).$$

[Sk_Anonymous]

@Vincent: molto bene. Un'altra via e' studiare la funzione \( \theta \mapsto \cos(\theta)^p / \cos(p \theta) \); si prova facilmente che e' decrescente.

[Vincent46]

O ancora, si dovrebbe riuscire a dimostrare che, per ogni $\theta$ ammissibile fissato, le funzioni $p \mapsto \cos(\theta)^p$, $p \mapsto \cos(\p\theta)$ sono rispettivamente convessa e concava. Dato che entrambe valgono, rispettivamente, $1$ e $\cos(\theta)$ per $p = 0$ e $p = 1$, l'una rimane sempre sotto il segmento di estremi $(0, 1)$ e $(1, \cos(\theta))$, l'altra sopra!