Problema di Brocard -1

[dan952]

Trovare tutte le soluzioni intere $(m,n)$ di

$m^2=n!$

[giammaria2]

Con l'ipotesi di Bertrand (poi dimostrata da Chebyshev) il problema è semplicissimo, ma non mi sembrano argomenti da secondaria. Sei sicuro che esista una risposta a livello pre-universitario?

[dan952]

La mia soluzione usa il postulato di Bertrand. Problemi come questo preferisco pubblicarli qui vista l'affluenza di belle menti che c'è in questa sezione, i concetti da sapere non vanno troppo oltre la secondaria. Se pubblico un esercizio sugli spazi $L^p$ allora qualcosa comincia a non quadrare...

[dan952]

Soluzione:

Lemma (postulato di Bertrand) Sia $n$ un numero naturale, esiste almeno un numero primo $p$ tale che $n
Sia $(m,n)$ una coppia di interi entrambi maggiori di 1 che soddisfa l'equazione, sia $p$ il più grande numero primo minore di $n$ allora

$p! (p+1)(p+2) \cdots (p+n-p)=n!$

Poiché $n!$ è un quadrato perfetto se $p|n!$ allora $p^2|n!$, in particolare abbiamo che

$p| (p+1)(p+2) \cdots (p+n-p)$

Quindi $n \geq 2p$, d'altra parte per il postulato di Bertrand esiste almeno un numero primo $p

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