Due problemi

[Sascia63]

Salve volevo proporre due problemi tratti dalla Disfida Matematica "Urbi et Orbi" che non sono riuscito a risolvere:
a) Trovare il più grande intero $n$ tale che la disuguaglianza $ (x^7)^x ≤x^n+1-x$ sia vera per ogni $0
b)Un polinomio di settimo grado è tale che $p(x)-32$ è divisbile per $(x+1)^4$ e $p(x)+32$ è divisibile per $(x-1)^4$.Quanto vale $p(2)$?
Io ho iniziato a svolgerlo così:

deg $p(x)=7$
$p(x)-32=(x+1)^4s(x)$
$p(x)+32=(x-1)^4g(x)$ ho successivamente ricavato alcuni valori di $g(x)$ ed $s(x)$ ma non sono arrivato a nulla di concreto

[giammaria2]

Per il secondo problema do una soluzione, anche se tutt'altro che elegante.

Parto dalle formule che tu stesso hai scritto, e cioè
$p(x)-32=(x+1)^4s(x)$
$ p(x)+32=(x-1)^4g(x) $

che, sommate e sottratte, diventano
$2p(x)=(x+1)^4s(x)+(x-1)^4g(x) $
$-64=(x+1)^4s(x)-(x-1)^4g(x) $

$s(x)$ e $g(x)$ sono due polinomi di terzo grado a coefficienti incogniti; questi coefficienti possono essere determinati applicando alla seconda equazione il principio di identità dei polinomi e poi sostituiti nella prima equazione. Ho trovato un accorgimento per abbreviare i calcoli, che restano comunque lunghetti e basati sul principio di identità; alla fine ottengo
$p(x)=2x(5x^6-21x^4+35x^2-35)$
da cui deduco $p(2)=4*89=356$

[axpgn]

@giammaria

C'ho pensato qualche secondo, partendo proprio così ma mi son sembrati troppi i coefficienti da trovare ed ho subito lasciato perdere ...
Però tu hai proseguito e siccome a me continuano a sembrare tanti, potresti farci vedere come hai fatto? Thanks
E poi un'altra cosa ... se $x=2$ allora avremmo $p(2)-32=3^4*s(2)$ e $p(2)+32=g(2)$ ... secondo te è una strada che potrebbe portare da qualche parte? Grazie.

Cordialmente, Alex

[Sascia63]

Concordo con axpgn, ho provato anch'io ma mi sono perso; @giammaria se mostrassi tutti i passaggi mi faresti un gran favore.
Per quanto riguarda il primo problema non ho la minima idea di come iniziare .

[@melia]

Per il primo problema ho provato così, ma sono in alto mare

$ (x^7)^x ≤x^n+1-x $ con $ 0 ho lavorato su $x^(7x)n$ da cui $n<7x$, perciò $n<7$, ma nell'originale potrebbe essere $n<=7$, tuttavia non sono riuscita a dimostrare che $n=7$ non sia soluzione, né che non lo sia $n=8$, mentre non ho avuto problemi a dimostrare che $n=9$ non è soluzione.

[axpgn]

A occhio (cioè dal grafico ) la soluzione è ...

$n=8$

[Sascia63]

Si hai ragione axpgn (anche se hai barato )
La soluzione è proprio:

$n=8$

[axpgn]

Non è vero! È un metodo alternativo

[Sascia63]

"@melia":Per il primo problema ho provato così, ma sono in alto mare
$ (x^7)^x ≤x^n+1-x $ con $ 0
@melia L'errore sta qui: $ x^n+1-x>x^n $ perchè abbiamo detto che $ 00 $ di conseguenza $ x^(7x) ≤x^n

Cita

Segnala

[giammaria2]

Ecco l'accorgimento che ho usato nel secondo problema.

Poiché $(x+-1)^4=(x^4+6x^2+1)+-4x(x^2+1)$
le due equazioni sono
$2p(x)=(x^4+6x^2+1)[s(x)+g(x)]+4x(x^2+1)[s(x)-g(x)]$
$-64=(x^4+6x^2+1)[s(x)-g(x)]+4x(x^2+1)[s(x)+g(x)]$

Pongo ora
$a(x)=s(x)-g(x)=a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=x(a_0x^2+a_2)+(a_1x^2+a_3)$
$b(x)=s(x)+g(x)=b_0x^3+b_1x^2+b_2x+b_3=x(b_0x^2+b_2)+(b_1x^2+b_3)$

e la seconda equazione diventa
$-64=(x^4+6x^2+1)[x(a_0x^2+a_2)+(a_1x^2+a_3)]+4x(x^2+1)[x(b_0x^2+b_2)+(b_1x^2+b_3)]$

Faccio i prodotti, scrivendo in due righe diverse i pezzi con esponenti pari e dispari.
$-64=(x^4+6x^2+1)(a_1x^2+a_3)+4x^2(x^2+1)(b_0x^2+b_2)+$
$" "" "+x(x^4+6x^2+1)(a_0x^2+a_2)+4x(x^2+1)(b_1x^2+b_3)$

Il principio di identità dei polinomi fornisce ora due sistemi diversi, uno per riga, e precisamente
${(a_1+4b_0=0),(a_3+6a_1+4b_2+4b_0=0),(6a_3+a_1+4b_2=0),(a_3=-64):}$ ${(a_0=0),(a_2+6a_0+4b_1=0),(6a_2+a_0+4b_3+4b_1=0),(a_2+4b_3=0):}$

La soluzione del primo sistema è un po' lunga; quella del secondo è più breve, anche perché, trattandosi di un sistema lineare omogeneo, ci aspettiamo soluzioni nulle (e lo sono, ma occorre controllare che il sistema non sia indeterminato). Alla fine troviamo
$a_1=-80;" "a_3=-64;" "b_0=20;" "b_2=116;" "a_0=a_2=b_1=b_3=0$

Il resto non ha storia.
Per completezza, ho preferito calcolare prima p(x) e poi p(2), ma avrei anche potuto porre subito x=2 nei vari pezzi, ed avrei risparmiato i prodotti fra polinomi. Oppure si può sfruttare il suggerimento di axpgn.

[axpgn]

Thank you

... è una strada che non avrei mai trovato ...

[Sascia63]

Comunque a chi interessasse ho trovato una discussione su un altro forum del secondo problema.Metto qui di seguito il link:
http://olimpiadi.ing.unipi.it/viewtopic ... 5ef2ec5789

[giammaria2]

Per il primo problema, io ho solo trovato che lil valore massimo di $n$ non supera quello da voi indicato, ma potrebbe anche essergli inferiore. Voi come avete ragionato?

Ho studiato le due curve
1) $y=x^(7x)->y'=7x^(7x)(lnx+1)$
2) $y=x^n+1-x->y'=nx^(n-1)-1$
trovando che entrambe passano per $(0,1)$ (o vi si avvicinano indefinitamente) e per $(1,1)$; entrambe hanno un minimo nell'intervallo dato.
Guardando il valore delle derivate, noto che in un intorno destro di 0 la curva 2 è sopra alla 1 per ogni $n$; in un intorno sinistro di 1 gli è al di sopra se la sua derivata (calcolata in $x=1$)è minore o uguale all'altra, cioè se
$n-1<=7->n<=8$
Il valore massimo sarebbe quindi $n=8$; non c'è però nessuna garanzia che la curva 2 sia sopra alla 1 anche fuori da quegli intorni.

[axpgn]

Beh, basta vedere il grafico (i grafici) ...

[Erasmus_First]

@ giammaria

Non credo che ci siano metodi sostanzialmente diversi da quello impiegato da giammaria (cioè che facciano a meno del principio di identità) per risolvere il secondo esercizio.
Non ho fatto i calcoli. Tuttavia ...
• Per A, B, C, D, E, F, G ed H costanti opportune deve essere (per ogni $x$) :
$(Ax^3 + Bx^2 + Cx + D)(x+1)^4 – (Ex^3 + Fx^2 + Gx + H)(x–1)^4 = -64$

• Supposte note queste 8 costanti, deve essere (per ogni $x$):
$2p(x) = (Ax^3 + Bx^2 + Cx + D)(x+1)^4 + (Ex^3 + Fx^2 + Gx + H)(x-1)^4$ [**]
In particolare, per $x=2$:
$2p(2)$ = 81(8A + 4B + 2C + D) + 8E + 4F + 2G + H [***]
• Le 8 costanti si trovano facilmente dalla

risolvendo un sistema lineare di 8 incognite ottenuto mettendo successivamente nella [*] al posto di x una costante (diversa dalle precedenti).

Dividendo per $x^7$ e facendo poi tendere $x$ a +∞ (o a –∞) si trova subito che deve essere A = E.
Per semplicità possiamo poi scrivere la

per $x$ = –3, –2, –1, 0, 1, 2 e 3.

Otteniamo dunque il sistema (determinato) seguente:
Per x tendente a ∞: E = A;
Per x = –3: 16(–27A + 9B – 3C + D) – 256(–27E + 9F – 3G + H) = – 64;
Per x = – 2: –8A + 4B – 2C + D – 81(–8E + 4F – 2G + H) = – 64;
Per x = – 1: 16(–E + F – G + H) = –64;
Per x = 0: D – H = –64;
Per x = 1: 16(A + B + C + D) = –64;
Per x = 2: 81(8A + 4B + 2C + D) – (8E + 4F + 2G + H) = –64;
Per x = 3: 256(27A + 9B + 3C + D) – 16(27E + 9F + 3G + H) = –64.

Naturalmente ... io non ho voglia di risolvere questo sistema e mi fido dei calcoli fatti da giammaria.
_______


–––
P.S. (editando)
Ho corretto l'equazione per x = 0 (che era mooolto sbagliuata )

[Sascia63]

Grazie mille sei stato chiarissimo .

[dan952]

Provo che la disuguaglianza del primo esercizio non vale in generale per $n \geq 9$

Non è difficile provare che

\begin{equation}
x^{7x}>x^7
\end{equation}

per ogni $0
Basta mostrare che la disuguaglianza per $n=9$ non è vera su tutto $(0,1)$. Dalla (3) segue che

\begin{equation}
x^{7x}-x^9+x-1 > x^7-x^9+x-1=(x^7+x^8-1)(1-x)
\end{equation}

Poiché $x^7+x^8-1$ cambia segno sulla frontiera dell'intervallo per il Teorema dell'esistenza degli zeri esiste $\xi \in (0,1)$ tale che $\xi^7+\xi^8-1=0$, ovvero dalla (4)

$$\xi^{7\xi}-\xi^9+\xi-1 > 0$$

[giammaria2]

"dan95":Provo che la disuguaglianza del primo esercizio non vale in generale per $n \geq 9$

Mi sembra inutile, dato nella mia ultima mail avevo già dimostrato che vale solo per $n<=8$. Però la tua dimostrazione ha il pregio di non utilizzare le derivate (ma usa il teorema di esistenza degli zeri).

@Erasmus_First
Mi piace il modo con cui, nel secondo esercizio, hai evitato l'uso esplicito del principio di identità dei polinomi (ma direi che c'è un uso implicito). Resta il fatto che nessuno ha voglia di risolvere un sistema di 8 equazioni, e la mia soluzione cercava proprio il modo di evitarlo, trasformandolo in due sistemi di 4 equazioni ciascuna. Ancora meglio la soluzione linkata da Sascia83, in cui c'è un solo sistema di 4 equazioni.

[axpgn]

Sì, ma ... tutto bello, tutto ok, ma qualcuno sa in quanto tempo andavano risolti?
Non mi sembra un dettaglio ...

[dan952]

@Giammaria
Sì lo so che eri giunto alla stessa conclusione, infatti io volevo pubblicare tutta la soluzione dell'esercizio ma poi mi sono accorto che nella seconda parte qualcosa non andava e allora ho scritto solo la prima parte.

@alex

Non lo so, ma probabilmente di gran lunga meno di quanto ci stiamo mettendo...

[axpgn]

"dan95":... gran lunga meno di quanto ci stiamo mettendo...

E quindi, secondo voi, questo potrebbe voler dire che c'è un'altra strada, più "veloce"?