Distanza fra ellissi

[orsoulx]

Data un'ellisse, ne costruiamo una seconda incrementando la lunghezza di ciascun semiasse di $ d$. Qual è la distanza fra le due ellissi?
Ciao

[giammaria2]

Cosa intendi per distanza fra ellissi ?

[orsoulx]

Per distanza fra le ellissi (intese come curve) intendo l'ordinaria distanza euclidea fra insiemi di punti: la lunghezza del segmento più corto (se esiste) che congiunge un punto di un insieme con un punto dell'altro.
Naturalmente questa distanza non dipende solo da $ d $, ma anche dalla forma e dimensione della prima ellisse.
Ciao
PS Mi sono posto il problema partecipando ad una discussione nella sezione "Secondaria II grado" in merito ad un quesito notevolmente 'approssimato'.

[Mathita]

Esiste una soluzione elementare che non richieda concetti introdotti dopo il quinto superiore? Il problema è interessante, ma non riesco ad attaccarlo in maniera del tutto "elementare".

[orsoulx]

Penso di sì: non l'ho risolto e credo che la parte algebrica diventi pesante, ma il percorso dovrebbe essere affrontabile in un liceo scientifico. Per questo ho postato il problema un questa sezione.
Mi ha colpito, in particolare, il poter utilizzare un 'errore' del problema formulato nell'altra discussione
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=11&t=193233
per risolvere un problema molto più complesso del primo.
Ciao

[veciorik]

Poiché sono completamente arrugginito, non mi imbarco con i calcoli ma credo che la via più semplice sia la seguente.
Considero il primo quadrante dove le coordinate dei punti notevoli sono positive.
I punti più vicini tra loro, uno sulla riva interna e uno sulla esterna, si determinano ponendo che le due tangenti:

[*:2ji9kbsj]siano parallele, cioè abbiano la medesima pendenza[/*:m:2ji9kbsj][*:2ji9kbsj]la loro perpendicolare comune passi per i due punti[/*:m:2ji9kbsj][/list:u:2ji9kbsj]

[Mathita]

Il metodo di veciorik coincide in tutto e per tutto con il mio... però i calcoli diventano inumani. Tra l'altro le due pretese sono solo condizione necessaria: non garantiscono che i punti siano quelli che generano la distanza minima (può essere anche massima).

[orsoulx]

Fortunatamente la ruggine del vecchio Ric gli ha impedito di spiattellare la soluzione, con un po' di svitol arriveranno gli sviluppi.

"Mathita":...sono solo condizione necessaria: non garantiscono...

Quanto affermi è in generale vero, ma un questo caso mi pare che, escludendo il caso di due circonferenze concentriche, in ogni quadrante ci sia un solo minimo, mentre i massimi si trovano nei vertici delle ellissi.
Ciao

[Mathita]

Sì, hai ragione orsoulx, mettendosi comodi - centrando le ellissi nell'origine degli assi - nel primo quadrante si ha l'unicità. Di contro, non riesco a tenere a bada i conti (utilizzando il pc si perde il divertimento - anche perché il calcolo lui (il pc) lo ha già fatto, io no ).

Suppongo che esista un procedimento che abbatta notevolmente il numero di calcoli, o magari uno puramente geometrico (sarebbe bellissimo) che io non riesco a scovare. Rimango in attesa.

[orsoulx]

"Mathita":Rimango in attesa

Probabilmente ci sono percorsi migliori di quello che ho pensato: nel primo quadrante i punti delle ellissi aventi tangenti (e quindi normali) parallele hanno anomalie con tangenti (goniometriche) di rapporto costante. Imponendo alla congiungente i due punti di avere la medesima inclinazione si ottiene [strike]una risolvente di quarto grado che, però, è biquadratica con una sola soluzione positiva[/strike] un'equazione di secondo grado pura. La distanza minima è perciò calcolabile con [strike]soli radicali[/strike] un solo quadratic[strike]i[/strike]o ed esiste sicuramente una costruzione puramente geometrica.

Ciao
Modificato per correggere una cantonata algebrica: la soluzione è ora più commestibile.

Se $ x^2/a^2+y^2/b^2=1 $ è l'equazione dell'ellisse più interna; posto $ k=sqrt{(2a(a+b)+d(3a+b))/(2b(a+b)+d(a+3b))}$, la retta di equazione $ y=kb^2/a^2x $ taglia l'ellisse nel punto cercato del primo quadrante, mentre la retta $ y=k(b+d)^2/(a+d)^2x $ accudisce l'altra..

[40rob]

Ma la formula finale com'è a voi?
A me viene fuori così in funzione dei due semiassi $a$,$b$ e $d$...

$D = d*sqrt((2*(2*a*b+a*d+b*d))/((a+b) (a+b+2d)))$

[orsoulx]

"bub":Ma la formula finale com'è a voi?

Uguale alla tua.
Ciao

[40rob]

Grazie orsoulx

[orsoulx]

"bub":Grazie orsoulx

E di che? Grazie all'ignoto estensore del problema sbagliato. Come spesso accade: dagli errori si può imparare molto.
Ciao

[Erasmus_First]

"bub":[...] così in funzione dei due semiassi $a$,$b$ e di $d$...

$D = d*sqrt((2*(2*a*b+a*d+b*d))/((a+b) (a+b+2d)))$

Bella formula!
Sarebbe però opportuno venir a sapere anche dove stanno i due punti [nel 1° quadrante, uno su un'ellisse e l'altro sull'altra].

Io ... non ho avuto la pazienza [né il coraggio! ] di portare a termine i calcoli – che avevo impostato partendo dalle equazioni parametriche
$x_1 = a·cos(α)$; $y_1=b·sin(α)$;
$x_2 = (a+d)·cos(β)$; $y_2=(b+d)·sin(β)$;
$D^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 = F(α, β)$;
proseguendo poi col sistema delle due equazioni ottenute annullando le derivate parziali di $F(α, β)$ rispetto ad $α$ e rispetto a $β$ –.
$(∂F)/(∂α) = 0$ ∧ $(∂F)/(∂β) = 0$.

________

[orsoulx]

@Erasmus:
Anche se la richiesta era solo il valore della distanza minima, i punti estremi del segmento in questione si possono trovare sviluppando quanto ho scritto in un hint postato. Non mi pare che il tuo approccio sia presentabile in una scuola secondaria.
Ciao