$\frac{1}{a^2022}+\frac{1}{b^2022}+\frac{1}{c^2022}$

[dan952]

Siano $a,b,c$ numeri reali non nulli tali che
$a+b+c=2022$ e $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1/2022$
Calcolare
$\frac{1}{a^2022}+\frac{1}{b^2022}+\frac{1}{c^2022}$

[axpgn]

Dato che una soluzione delle prime due equazioni è $a=2022, b=-c$ (e relative permutazioni) allora un risultato potrebbe essere $1/2022^2022+2/b^2022$ con $b$ reale non nullo (e relative permutazioni)

Cordialmente, Alex

[dan952]

Bene in realtà il testo diceva 2021 e non 2022 in modo che $b$ spariva ma il ragionamento rimane lo stesso. È unica?

[Zero87]

Come detto, provo ad accendere il cervello ogni tanto. Ho un'idea ma non so se porta a qualcosa o se sia la strada giusta.

Ricordo che se $a,b,c$ sono soluzioni di un'equazione di terzo grado, ho che l'equazione si può scrivere come
$x^3+(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x+abc = 0$
Per la seconda condizione, ho che
$1/a+1/b+1/c = (bc+ac+ab)/(abc) = 1/2022$
però questo non mi porta a molto, o almeno mi manca una condizione.
Al massimo posso sostituire qualcosa ma non arrivo da nessuna parte.

[dan952]

Dall' equazione segue che
$2022x^2(\frac{x}{2022}+1)=-abc(\frac{x}{2022}+1)$
Prova a vedere se ricavi qualcosa