Polinomi "insistenti"

[dan952]

Determinare tutti i polinomi $P(x)$ a coefficienti reali tali che

$P(x^3-2)=P(x)^3-2$

[axpgn]

[ot]Non ne ho idea ma ... Bentornato! era un po' che non ti si vedeva da queste parti [/ot]


Cordialmente, Alex

[dan952]

[ot]Grazie Alex!
Sì, diciamo che mi ero dimenticato la password ...[/ot]

[axpgn]

[@melia]

Ovviamente il polinomio $P(x)=x$ è soluzione del problema, poi credo che non ce ne siano altri, ma ci devo riflettere ancora un po'

[giammaria2]

Condivido la risposta di @melia e ne aggiungo un'altra, banalissima. Credo che non ce ne siano altre, ma non saprei dimostrarlo.

Va bene anche $p(x)=k$, a condizione che $k$ sia soluzione di $k=k^3-2$. Con metodo grafico si vede che questa equazione ha una sola soluzione reale, che vale circa 1,26.

[otta96]

Oltre a quelle che dite ci sono anche le composizioni iterate di $x^3-2$, e credo veramente basta, ma non so come dismostrarlo.

[dan952]

@otta96

"otta96":

Oltre a quelle che dite ci sono anche le composizioni iterate di $ x^3-2 $, e credo veramente basta, ma non so come dismostrarlo.

Per le soluzioni in realtà bastano quelle di Melia e Giammaria, per dimostrarlo?...beh... Ti sei risposto quasi da solo...

[hydro1]

Scriviamo \(P(x)+2=\prod (x-\alpha_i)^{e_i}\) dove gli $\alpha_i$ sono tutti distinti e gli $e_i$ sono interi positivi. Adesso \(P(x^3-2)+2=\prod (x^3-2-\alpha_i)^{e_i}\) deve essere una potenza terza. Questo significa che ogni radice deve avere molteplicità un multiplo di 3. Ma quali sono le radici di $P(x^3-2)+2$? Beh sono semplicemente i numeri della forma \(\zeta_3^r\sqrt[3]{2+\alpha_i}\) con $\zeta_3$ radice cubica di $1$ e $r\in \{0,1,2\}$. E' immediato vedere che se $\alpha_i\ne \alpha_j$ allora \(\zeta_3^r\sqrt[3]{2+\alpha_i}\ne \zeta_3^s\sqrt[3]{2+\alpha_j}\) per ogni $r,s$. D'altra parte \(\zeta_3^r\sqrt[3]{2+\alpha_i}= \zeta_3^s\sqrt[3]{2+\alpha_i}\) per qualche $r\ne s$ se e solo se $\alpha_i=-2$. Siccome $P(x^3-2)+2$ deve essere una potenza cubica, l'unicità della fattorizzazione mostra che dev'essere $P(x)+2=(x+2)^eQ(x)^3$ per qualche polinomio $Q(x)\in \mathbb R[x]$ e qualche intero positivo $e$.

D'altra parte l'equazione $P(x^3-2)=P(x)^3-2$, dopo un momento di riflessione, mostra che $P(x)$ deve avere la forma $R(x^3)$ per qualche polinomio $R(x)\in \mathbb R[x]$. Ne segue che $3$ divide $e$, ovvero che $P(x)=S(x)^3-2$ per qualche $S(x)$ e di conseguenza $S(x^3-2)^3-2=P(x^3-2)=P(x)^3-2=(S(x)^3-2)^3-2$. Essendo tutto quanto reale ne segue che $S(x^3-2)=S(x)^3-2$. Beh ma allora l'esercizio è concluso per induzione, una volta verificato agilmente che se $P(x)$ ha grado 1 è necessariamente l'identità.

[dan952]

@hydro

Molto bella, manca mostrare che esiste anche la soluzione costante. pubblicherò un' altra soluzione questo fine settimana.

[otta96]

@dan95 Non ho capito, $x^3-3x^2+3x-10$ non ha quella proprietà?
EDIT: Non so cosa cavolo stavo pensando ho scritto quel polinomio, intendevo $x^9-6x^6+12x^3-10$.

[dan952]

@otta96
Fai bene i conti

[otta96]

Li ho lasciati fare a Wolframalpha, e comunque non servirebbe fare i conti.

[hydro1]

"otta96":@dan95 Non ho capito, $x^3-3x^2+3x-10$ non ha quella proprietà?
EDIT: Non so cosa cavolo stavo pensando ho scritto quel polinomio, intendevo $x^9-6x^6+12x^3-10$.

$x^9-6x^6+12x^3-10=(x^3-2)^3-2$.

[dan952]

"otta96":@dan95 Non ho capito, $ x^3-3x^2+3x-10 $ non ha quella proprietà?
EDIT: Non so cosa cavolo stavo pensando ho scritto quel polinomio, intendevo $ x^9-6x^6+12x^3-10 $.

$P(x)=x^9-6x^6+12x^3-10 $

$P(x^3-2)=(x^3-2)^9-6(x^3-2)^6+12(x^3-2)^3-10 $

È uguale a $P(x)^3-2$?

[otta96]

Si.

[dan952]

@Otta96
Ora verifico dove è il problema...

@hydro

Non hai mostrato nella tua soluzione che esiste anche la soluzione costante

[hydro1]

"dan95":@Otta96
Ora verifico dove è il problema...

@hydro

Non hai mostrato nella tua soluzione che esiste anche la soluzione costante

"hydro":[quote="otta96"]@dan95 Non ho capito, $ x^3-3x^2+3x-10 $ non ha quella proprietà?
EDIT: Non so cosa cavolo stavo pensando ho scritto quel polinomio, intendevo $ x^9-6x^6+12x^3-10 $.

$ x^9-6x^6+12x^3-10=(x^3-2)^3-2 $.[/quote]

Certo, il caso costante va trattato a parte.

[dan952]

@Otta96
Hai ragione comunque rimane da dimostrare che sono le uniche.

[hydro1]

Non capisco cosa non capiate. Le uniche soluzioni non costanti sono le iterate di $x^3-2$ (con iterata $0$-esima $x$). Quel polinomio di grado 9 è l'iterata seconda.

[otta96]

È quello che ho detto anche io. Solo non so come si dimostra.