Relazioni tra soluzioni e coefficienti in equazioni di secondo grado

[gugo82]

Problema

È noto che se un'equazione algebrica di secondo grado:

$ax^2 + bx + c = 0$ (con $a != 0$)

ha $Delta = b^2 - 4ac > 0$ allora la somma delle due soluzioni $x_{1,2}$ è data da:

(1) $x_1 + x_2 = -b/a$.

1. Dimostra che la somma dei due quadrati delle soluzioni è:

(2) $x_1^2 + x_2^2 = (b^2 - 2ac)/a^2$.

2. Trova una formula per $x_1^3 + x_2^3$ ed $x_1^4 + x_2^4$.

3. Osserva le quattro formule calcolate e studiane le regolarità. Puoi elaborare una congettura circa una possibile formula per $x_1^5 + x_2^5$?
Riesci a dimostrare la tua congettura?

4. Generalizza. Puoi elaborare una congettura circa una possibile formula per $x_1^n + x_2^n$ con $n in NN$?
Riesci a dimostrare la tua congettura?

[Zero87]

Vediamo se sono almeno a livello delle secondarie.
Punto 1.

Ricordando che $x_1 x_2 = c/a$ allora
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1 x_2 = \frac{b^2}{a^2}-2\frac{c}{a} = \frac{b^2-2ac}{a^2}$

Punto 2a.

Con le stesse premesse di prima.
$x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1^2 x_2 - 3 x_1 x_2^2 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1 x_2 (x_1 + x_2)$
da cui si ottiene
$-\frac{b^3}{a^3} - 3 \frac{c}{a} \frac{b}{a} = \frac{b^3 - 3abc}{a^3}$
non so se è corretto, ma mi viene così.

Punto 2b (non finito).

$x_1^4 + x_2^4 = (x_1 + x_2)^4 - 4 x_1^3 x_2 - 6 x_1^2 x_2^2 - 4x_1 x_2^3$
Analizzo a parte i tresecondi termini fuori parentesi
$-2x_1 x_2 (2x_1-3x_1 x_2 - 2x_2)$
ovvero
$-2x_1 x_2 (2(x_1 - x_2) - 3 x_1 x_2)$

Intanto mi fermo qui, però penso a come esprimere quel maledetto $x_1 - x_2$.

[axpgn]

Perché non continui con la stessa "filosofia"?

$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$

$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$

$x^4+y^4=(x+y)^4-4xy(x^2+y^2)-6(xy)^2$

$x^5+y^5=(x+y)^5-5xy(x^3+y^3)-10(xy)^2(x+y)$ ... and so on ... e poi sostituisci ciò che già conosci

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Io ho trovato una formula di ricorrenza (anzi, due), ma non trovo una formula chiusa.

$(x_1+x_2)(x_1^n+x_2^n)=...=(x_1^(n+1)+x_2^(n+1))+x_1x_2(x_1^(n-1)+x_2^(n-1))$

e quindi, posto $A_n=x_1^n+x_2^n$, ho
$A_(n+1)=(x_1+x_2)A_n-x_1x_2 A_(n-1)=-b/a A_n-c/a A_(n-1)$

Se si preferisce distinguere i pari dai dispari, si può anche andare di due in due; in questi caso, in modo del tutto analogo, si trova la formula di ricorrenza
$A_(n+2)=(b^2-2ac)/a^2 A_n-c^2/a^2 A_(n-2)$

[Zero87]

"axpgn":Perché non continui con la stessa "filosofia"?

Perché sono (stato) un cretino... ti rendi conto che banalità mi ha fermato?
Grazie, non ci sarei arrivato in modo facile, avrei continuato a scomporre in vari modi senza pensare alla soluzione più semplice. Comunque rifletterò sulla forma chiusa (se non viene confermata quella di giammaria).

[axpgn]

Una ricorrenza l'avevo trovata anch'io ma non è il mio mestiere trovare una forma chiusa

[giammaria2]

Ripensandoci, noto che si ha
$x_1^n+x_2^n=((-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a))^n+((-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a))^n$
e questa è una formula chiusa. Mi sembra improbabile che possano essercene ben due, valide per ogni $n$, ed allora ogni tentativo per trovarne un'altra sarebbe destinato all'insuccesso.

[axpgn]

In effetti, più semplice di così

[axpgn]

Magari gugo voleva qualcosa di più complicato, tipo questo ...

$n=1\ \ ->\ \ -b/a$

$n=2\ \ ->\ \ +b^2/a^2-2c/a$

$n=3\ \ ->\ \ -b^3/a^3+3(bc)/a^2$

$n=4\ \ ->\ \ +b^4/a^4-4(b^2c)/a^3+2c^2/a^2$

$n=5\ \ ->\ \ -b^5/a^5+5(b^3c)/a^4-5(bc^2)/a^3$

$n=6\ \ ->\ \ +b^6/a^6-6(b^4c)/a^5+9(b^2c^2)/a^4-2c^3/a^3$

$n=7\ \ ->\ \ -b^7/a^7+7(b^5c)/a^6-14(b^3c^2)/a^5+7(bc^3)/a^4$

$n=8\ \ ->\ \ +b^8/a^8-8(b^6c)/a^7+20(b^4c^2)/a^6-16(b^2c^3)/a^5+2c^4/a^4$

$n=9\ \ ->\ \ -b^9/a^9+9(b^7c)/a^8-27(b^5c^2)/a^7+30(b^3c^3)/a^6-9(bc^4)/a^5$

$n=10\ \ ->\ \ +b^10/a^10-10(b^8c)/a^9+35(b^6c^2)/a^8-50(b^4c^3)/a^7+25(b^2c^4)/a^6-2c^5/a^5$

[gugo82]

Scusate, avevo perso di vista il thread (complice la chiusura d'anno scolastico).

Ad ogni buon conto, complimenti a Zero87 ed a giammaria per le soluzioni e ad axpgn per il suggerimento ed i contarielli espliciti.

Per quanto riguarda il punto 4, non pretendevo tanto: mi piaceva solo far osservare che una possibile espressione di $x_1^n + x_2^n$ è del tipo:

$1/a^n P_n(a,b,c)$,

in cui $P_n(a,b,c)$ è un polinomio omogeneo in $a$, $b$ e $c$ di grado $n$.