Due colori

[axpgn]

Provare che una mappa formata da un numero finito di cerchi può essere colorata con due soli colori.

Questa mappa per esempio ...

Cordialmente, Alex

[dan952]

Non ho capito. Posso colorarla pure con un colore solo. Forse intendi che posso colorarla senza che due zone adiacenti abbiano lo stesso colore?

[axpgn]

Sì, certo. Hai mai visto una mappa con le nazioni tutte con lo stesso colore?

[dan952]

Sicuramente la dimostrazione è per induzione... Ci penserò...

[dan952]

Una considerazione

1) Due circonferenze distinte si intersecano in al più due punti.


Caso $n=2$ banale

Supponiamo valga con $n$ circonferenze, cioè che possiamo colorarli con due soli colori, r e v per esempio, aggiungiamo una nuova circonferenza $C$ invertendo i colori (r diventa v e viceversa) delle zone all'interno di questa. Se esistessero due zone (una interna $Z_1$ e una esterna $Z_2$ a $C$) con lo stesso colore divise da un arco $AB$ di $C$ allora $Z_1$ che ora è v prima era r perché è interna a $Z_1$, ma allora l'arco $AB$ che divide $Z_1$ e $Z_2$ era presente già prima di aggiungere $C$ e appartiene ad una circonferenza $C'$ distinta da $C$, tuttavia $C nn C'$ può contenere al più due punti, assurdo. Dunque aggiungendo $C$ non si formano zone con lo stesso colore separate da archi.

[axpgn]

Non ne sono sicurissimo ma mi pare che funzioni Bravo!

Coloriamo di blu tutte le regioni contenute in un numero pari di cerchi (zero è pari quindi "l'infinito esterno" è blu ), mentre coloriamo di rosso tutte le regioni contenute in un numero dispari di cerchi.
Passando da una regione all'altra attraverso un arco cambia la parità e quindi anche il colore.

Cordialmente, Alex

[dan952]

Bella e veloce