Estensione della formula di Grassmann a $r$ sottospazi

[Zuzzerello1]

Dato un $\mathbb{K}$ - spazio vettoriale finitamente generato $V$ e $r$ suoi sottospazi $U_1,...,U_r$, può essere determinata una formula generale per il calcolo di \(\displaystyle \mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(U_1+\cdots+U_r) \)? Leggendo sul Cailotto (problema 6.1.3 a pag. 62) si può vedere che l'utilizzo del procedimento analogo a quello della costruzione della formula utilizzata dal principio di inclusione - esclusione non è corretto (a causa della non distributività dell'intersezione rispetto alla somma di sottospazi). Tuttavia sviluppando per $r=2,3,4$:

$dim(U_1+U_2)=dimU_1+dimU_2-dim(U_1\capU_2)$

$dim(U_1+U_2+U_3)=dimU_1+dim(U_2+U_3)-dim(U_1\cap(U_2+U_3)$ che evolve in $dimU_1+dimU_2+dimU_3-dim(U_2\capU_3)-dim[U_1\cap(U_2+U_3)]$

$dim(U_1+U_2+U_3+U_4)=dimU_1+dim(U_2+U_3+U_4)-dim[U_1\cap(U_2+U_3+U_4)]$ che evolve in $dimU_1+dimU_2+dimU_3+dimU_4-dim(U_3\capU_4)-dim[U_2\cap(U_3+U_4)]-dim[U_1\cap(U_2+U_3+U_4)]$

intuitivamente viene da pensare che per un generico intero $r>1$ la situazione evolva così (ho fatto (ab)uso della sommatoria per compattare somme di sottospazi):

$dim\sum_{k=1}^r U_k=\sum_{k=1}^r dimU_k-\sum_{k=1}^(r-1) dim(U_(r-k)\cap\sum_{j=r-k+1}^r U_k)$

La formula sopra deriva da un ragionamento puramente intuitivo e potrebbe essere non corretta. Volevo sapere cosa ne pensavate e se, per provare la genuinità di questa o di un'altra formula di questo tipo, basterebbe una dimostrazione per induzione. Non sono un esperto, anzi, mi considero alle prime armi.... per cui non vorrei essermi involontariamente addentrato in zone di cui non conosco il territorio e la "morfologia".
Grazie in anticipo della partecipazione!

[Zuzzerello1]

A tal proposito vorrei far presente che sull'opera di Cailotto a pag. 62 nel problema 6.1.3 si parla proprio di questo..
però il discorso non è conclusivo purtroppo e in giro non si trova nulla in merito :/
http://www.math.unipd.it/~maurizio/g1/AGLQ910pp.pdf

[dissonance]

Se ne era già parlato qui:

viewtopic.php?p=488992#p488992

puoi provare a dare un'occhiata, se ti serve.