[EX] - Sulla trascendenza di certi numeri
Esercizio. Provare che il numero \[\alpha= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n!}} \]è trascendente.
Possiedo una soluzione (non mia).
Possiedo una soluzione (non mia).
Risposte
Criterio di Liouville?
Saluti dal web.
Saluti dal web.
@Delirium.
Se l'essenza della verifica da te posseduta è riassumibile nella frase "dimostrare che la somma di quella serie numerica è un numero di Liouville",
credo che,a meno di particolari poco significativi,le nostre dimostrazioni dovrebbero essere uguali:
in tal caso puoi farmi sapere se vuoi che,appena m'è possibile, posto la mia,
o se preferisci farlo tu?
Se invece c'è una via diversa da quella da me intravista,
magari illustrala
(andrebbe bene nel caso anche se tu fornissi solo un hint)
che poi le confrontiamo:
aspetto tue notizie
..
Saluti dal web.
Se l'essenza della verifica da te posseduta è riassumibile nella frase "dimostrare che la somma di quella serie numerica è un numero di Liouville",
credo che,a meno di particolari poco significativi,le nostre dimostrazioni dovrebbero essere uguali:
in tal caso puoi farmi sapere se vuoi che,appena m'è possibile, posto la mia,
o se preferisci farlo tu?
Se invece c'è una via diversa da quella da me intravista,
magari illustrala
(andrebbe bene nel caso anche se tu fornissi solo un hint)
che poi le confrontiamo:
aspetto tue notizie
..Saluti dal web.
Ciao theras, mi scuso per l'assenza, ma i corsi sono iniziati con impeto ed ho avuto altro a cui pensare.
Non appena avrò un attimo di tempo libero ti fornirò tutte le informazioni del caso ( e nel frattempo vado ad informarmi sul criterio di Liouville, visto che la dimostrazione che possiedo non ne fa uso - sto parlando proprio di contazzi a mano con le estensioni di campo).
Non appena avrò un attimo di tempo libero ti fornirò tutte le informazioni del caso ( e nel frattempo vado ad informarmi sul criterio di Liouville, visto che la dimostrazione che possiedo non ne fa uso - sto parlando proprio di contazzi a mano con le estensioni di campo
).
Sospetto fortemente che dietro i tuoi "contacci" ci sia,
celata nell'angolo più vicino come certi campioni di nascondino di pomeriggi lontani(per me,sighsob,un po' di più
),
la condizione sufficiente,detta appunto Criterio d Liouville,che ho citato in spoiler
(la quale essenzialmente,a meno dei dovuti accorgimenti tecnici,
è contronominale della proposizione secondo la quale un qualunque numero algebrico,con grado d'algebricità $n in NN$,
è "approssimabile mediante razionali" all'ordine $n$ ma a nessun ordine superiore a siffatto numero naturale);
ad essa mi riferisco nel farti osservare che,fissato a piacere $m inN$,avremo $|sum_(n=0)^(+oo) 1/(2^(n"!"))-(2^(m"!") sum_(k=0)^m 1/(2^(k"!")))/(2^(m"!"))|=..=sum_(n=m+1)^(+oo)1/(2^(n"!"))=1/(2^((m+1)"!"))sum_(n=m+1)^(+oo) (1/2)^(n"!"-(m+1)"!")<1/(2^((m+1)"!")) sum_(n=0)^(+oo)(1/2)^(n)=$
$=2/(2^((m+1)"!"))<1/(2^(m"!"))$:
dovremmo esserci,se non ho compiuto errori con le stime
(sia l'ultima,dimostrata con eccesso di zelo per induzione,che quelle,ai miei occhi più ovvie,ad essa precedenti..)!
A presto:
saluti dal web.
celata nell'angolo più vicino come certi campioni di nascondino di pomeriggi lontani(per me,sighsob,un po' di più
),la condizione sufficiente,detta appunto Criterio d Liouville,che ho citato in spoiler
(la quale essenzialmente,a meno dei dovuti accorgimenti tecnici,
è contronominale della proposizione secondo la quale un qualunque numero algebrico,con grado d'algebricità $n in NN$,
è "approssimabile mediante razionali" all'ordine $n$ ma a nessun ordine superiore a siffatto numero naturale);
ad essa mi riferisco nel farti osservare che,fissato a piacere $m inN$,avremo $|sum_(n=0)^(+oo) 1/(2^(n"!"))-(2^(m"!") sum_(k=0)^m 1/(2^(k"!")))/(2^(m"!"))|=..=sum_(n=m+1)^(+oo)1/(2^(n"!"))=1/(2^((m+1)"!"))sum_(n=m+1)^(+oo) (1/2)^(n"!"-(m+1)"!")<1/(2^((m+1)"!")) sum_(n=0)^(+oo)(1/2)^(n)=$
$=2/(2^((m+1)"!"))<1/(2^(m"!"))$:
dovremmo esserci,se non ho compiuto errori con le stime
(sia l'ultima,dimostrata con eccesso di zelo per induzione,che quelle,ai miei occhi più ovvie,ad essa precedenti..)!
A presto:
saluti dal web.
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