Congettura sui numeri primi
Mi sono appena imbattuto in una "strana" congettura che non conoscevo sui numeri primi. Non ho idea se si tratti di una versione "depotenziata" di qualcosa di già provato. Ho fatto qualche test e direi che per valori ragionevolmente piccoli (primi inferiori a $10^4$) parrebbe filare tutto liscio.
Ecco a voi il problema da dimostrare/confutare:
E' vero che tutti primi $p_0≥7$ possono essere espressi nella forma $2*p_1+p_2$, con $p_1$ e $p_2$ numeri primi (distinti)?
Chiaramente, fissato $p_0$, ci possono essere più combinazioni che verificano la congettura di cui sopra (esempio $p_0:=41=2*2+37=2*5+31=2*11+19=2*17+7=2*19+3$), ma sarà vero in generale?
Ecco a voi il problema da dimostrare/confutare:
E' vero che tutti primi $p_0≥7$ possono essere espressi nella forma $2*p_1+p_2$, con $p_1$ e $p_2$ numeri primi (distinti)?
Chiaramente, fissato $p_0$, ci possono essere più combinazioni che verificano la congettura di cui sopra (esempio $p_0:=41=2*2+37=2*5+31=2*11+19=2*17+7=2*19+3$), ma sarà vero in generale?
Risposte
Ciò mi ricorda un po' la congettura di Goldbach, ma chiaramente in versione molto meno potente (e dunque interessante), se non fosse per $2*p_1$.
E' immediato che, per trovare tutte le possibili combinazioni associate ad un dato $p_0$, basti procedere nel modo seguente.
1) Calcolare $p_0$ meno tutti i possibili primi inferiori a $ floor(p_0/2)$ ;
2) Dividere il valore di cui al punto 1) per $2$ ;
3) Verificare che il risultato sia un numero primo (in termini pratici converrebbe far importare la lista a un programma creato ad hoc, oppure richiamare una delle tante subroutine già pronte per i vari linguaggi di programmazione) .
E' immediato che, per trovare tutte le possibili combinazioni associate ad un dato $p_0$, basti procedere nel modo seguente.
1) Calcolare $p_0$ meno tutti i possibili primi inferiori a $ floor(p_0/2)$ ;
2) Dividere il valore di cui al punto 1) per $2$ ;
3) Verificare che il risultato sia un numero primo (in termini pratici converrebbe far importare la lista a un programma creato ad hoc, oppure richiamare una delle tante subroutine già pronte per i vari linguaggi di programmazione) .
Ok, fatto da solo... mi sono ricordato di un certo Chen Jungrun (http://en.wikipedia.org/wiki/Chen%27s_theorem).
Chiedo venia per il thread molto "niubbo".
Chiedo venia per il thread molto "niubbo".
"marcokrt":
Chiedo venia per il thread molto "niubbo".
Non preoccuparti di questo, siamo qui per imparare.
Comunque anche a me ricorda Goldbach. Assumiamo che tutti i primi siano diversi da $2$
$p_0=2p_1+p_2$
ovvero
$p_0=p_1+p_1+p_2$
ovvero
$p_0-p_1=p_1+p_2$
dunque
$(p_0-p_1)=p_1+p_2$
il primo membro è un numero pari (differenza tra 2 primi dispari) che si può scrivere come somma di 2 primi... Goldbach!
Ovviamente si può tirare fuori la condizione $p_2\ge 3$ per costruzione da cui segue $p_0\ge 6$ ovvero $p_0\ge 7$ dato che è primo...
Dico bene? Spero di sì, una volta tanto!
Ciao Zero87, ti ringrazio... sei stato molto gentile
In effetti avevo ragionato in modo simile.
La cosa "interessante" ora è che il Teorema di Chen non credo sia stato provato per valori "piccoli" del nostro numero primo generico e che la congettura forte di Goldbach ancora non è stata dimostrata vera (anche se credo proprio che lo sia).
Ciò che non mi torna nella tua dimostrazione di equivalenza è l'assunzione iniziale: mi chiedo se sia lecito supporre che tutti i primi che usiamo siano dispari. Prendiamo il caso $p_0:=7$... abbiamo che $p_0=2*2+3$ e questa è l'unica forma possibile :\
In effetti avevo ragionato in modo simile.
La cosa "interessante" ora è che il Teorema di Chen non credo sia stato provato per valori "piccoli" del nostro numero primo generico e che la congettura forte di Goldbach ancora non è stata dimostrata vera (anche se credo proprio che lo sia).
Ciò che non mi torna nella tua dimostrazione di equivalenza è l'assunzione iniziale: mi chiedo se sia lecito supporre che tutti i primi che usiamo siano dispari. Prendiamo il caso $p_0:=7$... abbiamo che $p_0=2*2+3$ e questa è l'unica forma possibile :\
Alla tua domanda provo a rispondere io, poi correggetemi se sbaglio: almeno uno tra $p_1$ e $p_2$ deve essere dispari e l'altro pari, altrimenti la somma sarebbe un numero pari e quindi non primo.
Poichè inoltre $p_1$ viene moltiplicato per 2 ciò vuol dire che sia se pari o dispari poi dà un numero pari, di conseguenza deve essere $p_2$ dispari.
Ciò vuol dire quindi che $p_2$ deve essere dispari e $p_1$ può essere sia pari sia dispari.
Nel caso in cui è dispari si può agire come ha fatto Zero87, nell'altro caso si ha che un numero pari è la differenza di due primi (spostando $p_2$), che non so se è sempre associabile alla congettura di Goldbach.
Sto sbagliando?
Poichè inoltre $p_1$ viene moltiplicato per 2 ciò vuol dire che sia se pari o dispari poi dà un numero pari, di conseguenza deve essere $p_2$ dispari.
Ciò vuol dire quindi che $p_2$ deve essere dispari e $p_1$ può essere sia pari sia dispari.
Nel caso in cui è dispari si può agire come ha fatto Zero87, nell'altro caso si ha che un numero pari è la differenza di due primi (spostando $p_2$), che non so se è sempre associabile alla congettura di Goldbach.
Sto sbagliando?
"marcokrt":
mi chiedo se sia lecito supporre che tutti i primi che usiamo siano dispari
Sì, forse ho esagerato un pochino, ma volevo fare un ragionamento piuttosto generico e non a grana fine senza passare per lo "spinoso" caso di un primo uguale a 2...
Non volevo addentrarmi in vari casi, l'influenza non mi ha ancora abbandonato e potevo sparare un sacco di cavolate!
Per ora mi ritrovo con la risposta di Edex, ma comunque devo ricontrollarla con più calma anche perché come ho detto spesso sono un appassionato di tdn, non un "tecnico".
Mhmhmmhmh... in effetti, ho ancora dei dubbi. Il Teorema di Chen dice che tutti i numeri pari possono essere scritti o come somma di due primi o come somma di un primo e un semiprimo. Essendo $2$ un numero primo, avremmo pure una scrittura alternativa di quel risultato, con uno dei due fattori del semiprimo in questione fissato... quindi mi parrebbe un risultato pure più forte (almeno in quest'accezione).
"Edex":
Alla tua domanda provo a rispondere io, poi correggetemi se sbaglio: almeno uno tra $p_1$ e $p_2$ deve essere dispari e l'altro pari, altrimenti la somma sarebbe un numero pari e quindi non primo.
Poichè inoltre $p_1$ viene moltiplicato per 2 ciò vuol dire che sia se pari o dispari poi dà un numero pari, di conseguenza deve essere $p_2$ dispari.
Ciò vuol dire quindi che $p_2$ deve essere dispari e $p_1$ può essere sia pari sia dispari.
Nel caso in cui è dispari si può agire come ha fatto Zero87, nell'altro caso si ha che un numero pari è la differenza di due primi (spostando $p_2$), che non so se è sempre associabile alla congettura di Goldbach.
Sto sbagliando?
Davo per scontato (implicito) che l'unico primo a poter essere pari fosse $p_1$... un primo $> 2$ è dispari per definizione (nel nostro caso $> 6$), quindi $p_0=2n+1$ con $n$ naturale strettamente positivo generico. Poiché $2*p_1$ è sempre pari (indipendentemente da $p_1$) e $p_2$ è sempre dispari, $p_1$ è pari o dispari (e solo lui può essere pari).
"Edex":
Nell'altro caso si ha che un numero pari è la differenza di due primi (spostando $p_2$), che non so se è sempre associabile alla congettura di Goldbach.
Sto sbagliando?
In questo caso abbiamo che $p_1=2$ e dunque $p_0-p_2=4$ che è un problema mica da ridere...
Però ho risolto tutto: la dimostrazione di Zero87 era buona come idea ma conteneva degli errori sostanziali nelle condizioni al contorno. Non è stato difficile provare che, se $p_1>2$, allora $p_0≥11$ e dunque il caso particolare $p_0=7$ si fa prima a studiarlo a parte.
Un ringraziamento per l'aiuto, nonché la piacevole e cortese discussione
Ecco la mia proposta di dimostrazione... non so se sia effettivamente corretta: http://www.scribd.com/doc/157029142/Rip ... me-numbers
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