Determinazione base formata da autovettori

[renlo676]

ciao ho un problema riguardante la determinazione di una base formata da autovettori.
precisamente l'esercizio richiede se data una matrice questa risulta essere diagonalizzabile e inoltre di determinare, se esiste, una base formata da autovettori della matrice e determinare tale base. La prima parte non mi crea problemi, verifico se la matrice è diagonalizzabile verificando che per ogni autovalore la molteplicità algebrica coincida con quella geometrica. Per verificare che esista una base formata da autovettori le condizioni risultano essere le stesse per cui una matrice è diagonalizzabile. Il mio problema è dunque trovare questa base formata da autovettori. Riuscite a spiegarmi sia teoricamente ed anche con un esempio con questa matrice

\(\displaystyle \begin{bmatrix}
2 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
\beta-2 & -1 & \beta & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\)

eseguendo i vari passaggi questa matrice risulta diagonalizzabile per \(\displaystyle \beta\neq1 \).
Come dove proseguire? Grazie in anticipo

[Bokonon]

"renlo":
eseguendo i vari passaggi questa matrice risulta diagonalizzabile per \(\displaystyle \beta\neq1 \).

Mi risulta diagonalizzabile per qualsiasi valore di $beta$
Gli autovalori sono 1,1,2 e $beta$

Se $beta!=1$ e $beta!=2$ e per $lambda=1$ si ha $m.a=m.g=2$ quindi non ci sono problemi.
Se $beta=1$ e per $lambda=1$ si ha $m.a=m.g=3$ quindi non ci sono problemi.
Se $beta=2$ e per $lambda=2$ si ha $m.a=m.g=2$ quindi non ci sono problemi.

[renlo676]

Ha perfettamente ragione...insulso errore di calcoli, la ringrazio!!!

[renlo676]

"Bokonon":[quote="renlo"]
eseguendo i vari passaggi questa matrice risulta diagonalizzabile per \(\displaystyle \beta\neq1 \).

Mi risulta diagonalizzabile per qualsiasi valore di $beta$
Gli autovalori sono 1,1,2 e $beta$

Se $beta!=1$ e $beta!=2$ e per $lambda=1$ si ha $m.a=m.g=2$ quindi non ci sono problemi.
Se $beta=1$ e per $lambda=1$ si ha $m.a=m.g=3$ quindi non ci sono problemi.
Se $beta=2$ e per $lambda=2$ si ha $m.a=m.g=2$ quindi non ci sono problemi.[/quote]

Sai spiegarmi anche come trovare la base formata da autovettori? So che per trovare gli autovettori devo calcolare, per ogni caso di \(\displaystyle \beta \), \(\displaystyle (B_{\beta} -\lambda I) \), faccio l'eliminazione di gauss per trovare la forma ridotta e una volta trovata calcolo il sistema associato, le soluzioni saranno il mio autospazio formato da autovettori, per esempio, l'esercizio che ho proposto, l'autospazio per \(\displaystyle \beta\neq 1,2 \) (per esempio \(\displaystyle \beta=0 \)) sarà
\(\displaystyle < \alpha\begin{bmatrix}
0\\
0\\
1\\
0
\end{bmatrix}
,\beta\begin{bmatrix}
0\\
0\\
0\\
1
\end{bmatrix}> \)

per \(\displaystyle \beta=1 \) sarà:
\(\displaystyle < \alpha\begin{bmatrix}
-1\\
1\\
0\\
0
\end{bmatrix}
,\beta\begin{bmatrix}
0\\
0\\
1\\
0
\end{bmatrix}
,\gamma\begin{bmatrix}
0\\
0\\
0\\
1
\end{bmatrix}> \)

per \(\displaystyle \beta=2 \) con \(\displaystyle \lambda =1 \) sarà:
\(\displaystyle < \alpha\begin{bmatrix}
1\\
-1\\
1\\
0
\end{bmatrix}
,\beta\begin{bmatrix}
0\\
0\\
0\\
1
\end{bmatrix}
> \)

mentre con con \(\displaystyle \lambda =2 \) sarà:

\(\displaystyle < \alpha\begin{bmatrix}
1\\
0\\
0\\
0
\end{bmatrix}
,\beta\begin{bmatrix}
0\\
0\\
0\\
1
\end{bmatrix}
> \)

Spero di non aver detto un enorme sciocchezza, ma mi trovo in gran difficoltà

[Bokonon]

Che confusione. Semplificati la vita e fai il caso generale. Gli autovalori sono 1,1,2 e $beta$
La matrice di cui vogliamo trovare il kernel al variare di $lambda$ è:
$(A-lambdaI)= ( ( 2-lambda , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1-lambda , 0 , 0 ),( beta-2 , -1 , beta-lambda , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1-lambda ) )$

Sostituiamo quindi gli autovalori. Per $lambda=1$ abbiamo:
$ (A-I)= ( ( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( beta-2 , -1 , beta-1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
Il kernel/autovettori è formato da due vettori $ {( ( -1 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) } $

Per $lambda=2$ abbiamo:
$ (A-2I)= ( ( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 0 , 0 ),( beta-2 , -1 , beta-2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , -1 ) ) $
Il kernel è formato da un solo autovettore $ {( ( 1 ),( 0 ),( -1 ),( 0 ) ) } $

Per $lambda=beta$ abbiamo:
$ (A-betaI)= ( ( 2-beta , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1-beta , 0 , 0 ),( beta-2 , -1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1-beta ) ) $
Il kernel è formato da un solo autovettore $ {( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) } $

Le due matrici S e D sono:
$ S=( ( -1 , 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , -1 , 1 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ) ) $ $ D=( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , beta ) ) $
Gli autovettori non dipendono da $beta$, infatti è sempre diagonalizzabile come abbiamo visto.
Quando $beta=1$, per $lambda=1$ troverai gli autovettori che stanno nella prima, seconda e quarta colonna di S.
Quando $beta=2$, per $lambda=2$ troverai gli autovettori che stanno nella terza e quarta colonna di S.

[renlo676]

Ora è tutto più chiaro. Grazie anche per questa risposta!