Esercizio con la relazione di Grassman

[Elia19991]

Salve, non riesco a completare il seguente esercizio :

Trovare due sottospazi di R^5 tali che la dimU=dimW=3 e R^5=U+W

Ho trovato i due seguenti sottospazi di dimensione 3 :

U={(a,b,c,d,e) appartenente ad R^5 : d=0, e=0 }
W={(a,b,c,d,e) appartenente ad R^5 : a=0, b=0}

Poi per la relazione di Grassman ho imposto che :

dim(U+W)= 6 - dim(U intersezione W)

Risulta che 3<= dim(U+W)<= 5. La dim(U+W) non può essere uguale a 3 poiché in tal caso U=W ma questi due sono due sottospazi distinti quindi :

4<=dim(U+W)<=5

Ora non so più come andare avanti e dimostare che R^5=U+W

[Bokonon]

Immagino che quella notazione significhi che hai 5 vettori linearmente indipendenti che formano una base di $R^5$.
E poi dici che $U={a,b,c}$ e $W={c,d,e}$, quindi $dim(U)=dim(W)=3$
Visto che $ UuuW={a,b,c,c,d,e} $ e che $ UnnW= {c}$ hai che $dim(UuuW)=5$ e $dim(UnnW)=1$

[anto_zoolander]

Scusa ma una 5-upla $(x_1,...,x_5)$ che sta in entrambi i sottospazi di che tipo è?

[Bokonon]

"anto_zoolander":Scusa ma una 5-upla $(x_1,...,x_5)$ che sta in entrambi i sottospazi di che tipo è?

Sono basi, significa che $UnnW=kc$ una retta in $R^5$

[Elia19991]

"Bokonon":Immagino che quella notazione significhi che hai 5 vettori linearmente indipendenti che formano una base di $R^5$.
E poi dici che $U={a,b,c}$ e $W={c,d,e}$, quindi $dim(U)=dim(W)=3$
Visto che $ UuuW={a,b,c,c,d,e} $ e che $ UnnW= {c}$ hai che $dim(UuuW)=5$ e $dim(UnnW)=1$

Ok quindi praticamente l'esercizio è risolto poiché :

\(\displaystyle dim(U+W)=6-1=5=dimR^5\)

Giusto ?

[anto_zoolander]

@bokonon
Si ma doveva dirlo lui

[Bokonon]

"Elia1999":
Ok quindi praticamente l'esercizio è risolto poiché :

\(\displaystyle dim(U+W)=6-1=5=dimR^5\)

Giusto ?

Certo. $U+W=R^5$

"anto_zoolander":@bokonon
Si ma doveva dirlo lui

Ah!
Colpa tua!