Esercizio sulla somma diretta di spazi vettoriali
Salve, non riesco a risolvere il seguente esercizio :
Sia V lo spazio vettoriale delle matrici 3x3. Trovare due sottospazi di U e W di V tali che dim(U)=6, dim(W)=3 e V è uguale alla somma diretta di U e W.
Io ho fatto cosi :
-ho scelto per U il sottospazio delle matrici simmetriche, quindi dim(U)=6
-ho scelto per W il sottospazio delle matrici antisimmetriche, quindi dim(W)=3
-V somma diretta di U e W, significa che V=U+W e U intersezione W = {0}. Quindi ho verificato la prima attraverso la relazione di Grassman e risulta che 6<=dim(U+W)<=9
Ora però non so più come procedere.
Sia V lo spazio vettoriale delle matrici 3x3. Trovare due sottospazi di U e W di V tali che dim(U)=6, dim(W)=3 e V è uguale alla somma diretta di U e W.
Io ho fatto cosi :
-ho scelto per U il sottospazio delle matrici simmetriche, quindi dim(U)=6
-ho scelto per W il sottospazio delle matrici antisimmetriche, quindi dim(W)=3
-V somma diretta di U e W, significa che V=U+W e U intersezione W = {0}. Quindi ho verificato la prima attraverso la relazione di Grassman e risulta che 6<=dim(U+W)<=9
Ora però non so più come procedere.
Risposte
Come hai usato Grassman?
Non si capisce.
Per mostrare che $U$ e $W$ sono in somma diretta devi provare che $U cap W = \{ O\}$ e che $U + W = V$.
P.S.: Sarebbe davvero opportuno che iniziassi ad inserire le [formule][/formule] con il MathML.
Non si capisce.
Per mostrare che $U$ e $W$ sono in somma diretta devi provare che $U cap W = \{ O\}$ e che $U + W = V$.
P.S.: Sarebbe davvero opportuno che iniziassi ad inserire le [formule][/formule] con il MathML.
Grassman l'ho utilizzato nel seguente modo :
\(\displaystyle dimV=9\)
\(\displaystyle dimU=6 \)
\(\displaystyle dimW=3 \)
Per Grassman risulta che :
\(\displaystyle dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U \displaystyle \cap W)\)
Quindi :
\(\displaystyle dim(U \cap W)=9-dim(U+W)\)
\(\displaystyle U \leq U+W \Longrightarrow dim(U+W) \geq dimU\)
\(\displaystyle U+W \leq V \Longrightarrow dim(U+W) \leq dimV\)
Quindi in definitiva :
\(\displaystyle 6 \leq dim(U+W) \leq 9\)
E da qui in poi non so più come procedere.
Per le formule hai ragione, scusami.
\(\displaystyle dimV=9\)
\(\displaystyle dimU=6 \)
\(\displaystyle dimW=3 \)
Per Grassman risulta che :
\(\displaystyle dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U \displaystyle \cap W)\)
Quindi :
\(\displaystyle dim(U \cap W)=9-dim(U+W)\)
\(\displaystyle U \leq U+W \Longrightarrow dim(U+W) \geq dimU\)
\(\displaystyle U+W \leq V \Longrightarrow dim(U+W) \leq dimV\)
Quindi in definitiva :
\(\displaystyle 6 \leq dim(U+W) \leq 9\)
E da qui in poi non so più come procedere.
Per le formule hai ragione, scusami.
Gugo ti sta dicendo che Grassman non ti aiuta a dimostrare nulla.
Devi analizzare i sue sottospazi che hai scelto.
Avresti potuto crearne due come nell'altro esercizio ma hai scelto quelli...perchè?
Cos'hanno di speciale? (e sono speciali!).
Devi analizzare i sue sottospazi che hai scelto.
Avresti potuto crearne due come nell'altro esercizio ma hai scelto quelli...perchè?
Cos'hanno di speciale? (e sono speciali!).
Allora cambio i due sottospazi :
\(\displaystyle A= \left[\begin{matrix}a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i\end{matrix}\right]\)
\(\displaystyle U=\{A \in V : g=h=i=0 \}\)
\(\displaystyle W=\{A \in V : a=b=c=d=e=f=0 \}\)
\(\displaystyle dimU=6 \space\space e \space\space dimW=3\)
\(\displaystyle dim(U \cup W)=0\) poiché non hanno alcun elemento in comune.
\(\displaystyle U+W=V\) poiché sommando i due sottospazi avremo come risultato lo spazio vettoriale delle matrici 3x3.
Così va bene ?
\(\displaystyle A= \left[\begin{matrix}a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i\end{matrix}\right]\)
\(\displaystyle U=\{A \in V : g=h=i=0 \}\)
\(\displaystyle W=\{A \in V : a=b=c=d=e=f=0 \}\)
\(\displaystyle dimU=6 \space\space e \space\space dimW=3\)
\(\displaystyle dim(U \cup W)=0\) poiché non hanno alcun elemento in comune.
\(\displaystyle U+W=V\) poiché sommando i due sottospazi avremo come risultato lo spazio vettoriale delle matrici 3x3.
Così va bene ?
"Elia1999":
Allora cambio i due sottospazi :
\(\displaystyle A= \left[\begin{matrix}a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i\end{matrix}\right]\)
\(\displaystyle U=\{A \in V : g=h=i=0 \}\)
\(\displaystyle W=\{A \in V : a=b=c=d=e=f=0 \}\)
\(\displaystyle dimU=6 \space\space e \space\space dimW=3\)
\(\displaystyle dim(U \cup W)=0\) poiché non hanno alcun elemento in comune.
\(\displaystyle U+W=V\) poiché sommando i due sottospazi avremo come risultato lo spazio vettoriale delle matrici 3x3.
Così va bene ?
Con questi due sottospazio, non serve fare neanche mezzo conto.
Si vede che ogni$A = ((a,b,c) ,(d,e,f), (g,h,i))$ si scrive in unico modo come $((a,b,c),(d,e,f),(0,0,0)) + ((0,0,0),(0,0,0),(g,h,i))$, quindi $V = U oplus W$.
***
Nel caso in cui ti interessasse ancora lavorare con le matrici simmetriche ed antisimmetriche, nota che ad ogni matrice $A$ si possono associare due matrici $A^(text(sym)) = 1/2 ( A + A^T)$ ed $A^(text(skew)) = 1/2 ( A - A^T)$ (qui l’apice $T$ denota la trasposizione) tali che $A^(text(sym))$ è simmetrica, $A^(text(skew ))$ è antisimmetrica e $A^(text(sym)) + A^(text(skew)) = A$.
Immagino intendessi scrivere che l'intersezione è il vettore nullo.
Si va bene, però mi piaceva di più la tua scelta precedente.
Prova a fare una ricerca con Google e scoprirai che ogni matrice nxn è scomponibile nella somma di due matrici sym+skew.
Quindi i sottospazi sym e skew sono linearmente indipendenti e la somma diretta da n.
In particolare scoprirai che i due sottospazi sono ortogonali...
P.S. Gugo ti ha svelato una buona parte!
Si va bene, però mi piaceva di più la tua scelta precedente.
Prova a fare una ricerca con Google e scoprirai che ogni matrice nxn è scomponibile nella somma di due matrici sym+skew.
Quindi i sottospazi sym e skew sono linearmente indipendenti e la somma diretta da n.
In particolare scoprirai che i due sottospazi sono ortogonali...
P.S. Gugo ti ha svelato una buona parte!
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