Determinare un sottospazio con parametri
Salve, qualcuno potrebbe perfavore darmi una mano per questo esercizio :
Sia $W(a,b) := \{ (x,y) in RR^2 :\ (a+b)x+by<=0 \}$. Determinare per quali $a,b in RR$ l’insieme $W(a,b)$ è un sottospazio di $RR^2$.
Io ho provato a svolgerlo nel seguente modo :
- ho verificato prima di tutto se il vettore nullo appartiene a $W$ ed è risultato che per $a=0$ e $b=0$ gli appartiene
- ora dovrei verificare se $W(0,0)$ è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare ma non riesco ad andare avanti
Sia $W(a,b) := \{ (x,y) in RR^2 :\ (a+b)x+by<=0 \}$. Determinare per quali $a,b in RR$ l’insieme $W(a,b)$ è un sottospazio di $RR^2$.
Io ho provato a svolgerlo nel seguente modo :
- ho verificato prima di tutto se il vettore nullo appartiene a $W$ ed è risultato che per $a=0$ e $b=0$ gli appartiene
- ora dovrei verificare se $W(0,0)$ è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare ma non riesco ad andare avanti
Risposte
Quali vettori sono contenuti in $W(0,0)$?
Risposto a questo, il resto è ovvio...
Però c'è un errore a monte: non è affatto vero che $a=0, b=0$ sono gli unici valori dei parametri tali che $mathbf(0) in W(a,b)$... Ce ne sono molti altri: quali?
Risposto a questo, il resto è ovvio...
Però c'è un errore a monte: non è affatto vero che $a=0, b=0$ sono gli unici valori dei parametri tali che $mathbf(0) in W(a,b)$... Ce ne sono molti altri: quali?
Per essere un sottospazio è necessario che il vettore nullo sia contenuto in W(a,b), quindi ponendo x e y uguali a zero risulta che il vettore nullo appartiene a W(a,b) per ogni a,b appartenente ad R. Giusto ?
"Elia1999":
Per essere un sottospazio è necessario che il vettore nullo sia contenuto in W(a,b), quindi ponendo x e y uguali a zero risulta che il vettore nullo appartiene a W(a,b) per ogni a,b appartenente ad R. Giusto ?
Ma anche no. Ci possono essere e soprattutto ci devono essere anche tutte le combinazioni lineari per cui esista sempre un vettore y (a sua volta combinazione linare di altri vettori e quindi appartenente allo spazio) tale che x+y=0, ovvero y=-x.
Devi appunto mostrare che, essendoci un elemento neutro, per ogni x allora esiste un -x.
Ora se tu disegnassi lo spazio W troveresti $y<=-(a+b)/bx$
Ovvero una cosa di questo tipo:
L'area rossa è il tuo sottospazio e il vettore $blu$ appartiene ad esso.
Ora chiediti se esista una vettore $-blu$ appartenente alla zona rossa e traduci la tua risposta in una dimostrazione.
Proprio non riesco a capirlo potreste farmi vedere lo svolgimento per favore.
"Elia1999":
Per essere un sottospazio è necessario che il vettore nullo sia contenuto in W(a,b), quindi ponendo x e y uguali a zero risulta che il vettore nullo appartiene a W(a,b) per ogni a,b appartenente ad R. Giusto ?
Sì, giusto.
Quindi il vettore nullo sta in tutti i $W(a,b)$ ed imporre questa condizione non ti è servita a niente.
Per risolvere il problema, comunque, seguirei i suggerimenti di Bokonon: quando puoi rappresentare graficamente una situazione, fallo.
"Elia1999":
Proprio non riesco a capirlo potreste farmi vedere lo svolgimento per favore.
Elia, il vettore $-blu$ è semplicemente il vettore $blu$ con la direzione rovesciata...quindi cade fuori dalla zona rossa. No?
In particolare qualsiasi vettore v di quello spazio (che non si trovi esattamente sulla retta che passa per l'origine $y=-(a+b)/bx$) non ha un corrispettivo -v.
Secondo me pensi che sia più complicato di quanto non sia.
@Bokonon: E se $b=0$? 
"gugo82":
@Bokonon: E se $b=0$?
Mi attacco al ....
Mi ero scordato del b
No, dai... È facile!
Ma ancora meglio è il caso $a=0 ^^ b=0$.
Ma ancora meglio è il caso $a=0 ^^ b=0$.
"gugo82":
No, dai... È facile!
Ma ancora meglio è il caso $a=0 ^^ b=0$.
Ah, ma io pensavo criticassi l'esempio specifico (in cui per la verità volevo specificare per comodità che a e b erano positivi).
Diciamo che esiste una sola soluzione al problema posto
...ma deve trovarla lui.
Ok allora siccome il vettore nullo appartiene a W per ogni \(\displaystyle a,b \in R\) vado a controllare se tale sottospazio è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare per tutti gli a e b :
-per quanto riguarda la somma mi risulta che il sottospazio è chiuso rispetto a questa operazione per ogni \(\displaystyle a,b \in R\)
-mentre il sottospazio è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare solo quando lo scalare per cui moltiplichiamo è maggiore uguale a zero.
Sinceramente mi sembra di aver sbagliato ancora una volta, non mi convince molto il risultato che ho ottenuto nel secondo punto.
-per quanto riguarda la somma mi risulta che il sottospazio è chiuso rispetto a questa operazione per ogni \(\displaystyle a,b \in R\)
-mentre il sottospazio è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare solo quando lo scalare per cui moltiplichiamo è maggiore uguale a zero.
Sinceramente mi sembra di aver sbagliato ancora una volta, non mi convince molto il risultato che ho ottenuto nel secondo punto.
Nella sostanza, il suggerimento era di puntare direttamente all'assioma che non viene soddisfatto, ovvero dimostrare che dato un vettore v appartenente allo spazio in questione, non esiste (sempre) un vettore -v (nella varie casistiche)
Prendiamo un vettore $v=(v_x, v_y) in W(a,b)$ e il suo opposto $-v=(-v_x, -v_y)$ e vediamo se quest'ultimo appartiene a W.
caso $a,b!=0$ $W(a,b) := \{ (x,y) in RR^2 :\ (a+b)x+by<=0 \}$
$(a+b)(-v_x)+b(-v_y)<=0$ $rArr$ $-[(a+b)v_x+bv_y]<=0$ $rArr$ $(a+b)(v_x)+b(v_y)>=0$
E abbiamo raggiunto una contraddizione. Tradotto, se v ha un -v allora v non appartiene a W.
caso $a=0$ e $b!=0$ $W(0,b) := \{ (x,y) in RR^2 :\ b(x+y)<=0 \}$
$b(-v_x-v_y)<=0$ $rArr$ $-b(v_x+v_y)<=0$ $rArr$ $b(v_x+v_y)>=0$
Come sopra.
caso $a!=0$ e $b=0$ $W(a,0) := \{ (x,y) in RR^2 :\ ax<=0 \}$
$-av_x<=0$ $rArr$ $av_x>=0$
Idem
caso $a=b=0$ $W(0,0) := \{ (0,0)}$
W degenera nell'origine...ma è pur sempre uno spazio vettoriale anche se banale.
Prendiamo un vettore $v=(v_x, v_y) in W(a,b)$ e il suo opposto $-v=(-v_x, -v_y)$ e vediamo se quest'ultimo appartiene a W.
caso $a,b!=0$ $W(a,b) := \{ (x,y) in RR^2 :\ (a+b)x+by<=0 \}$
$(a+b)(-v_x)+b(-v_y)<=0$ $rArr$ $-[(a+b)v_x+bv_y]<=0$ $rArr$ $(a+b)(v_x)+b(v_y)>=0$
E abbiamo raggiunto una contraddizione. Tradotto, se v ha un -v allora v non appartiene a W.
caso $a=0$ e $b!=0$ $W(0,b) := \{ (x,y) in RR^2 :\ b(x+y)<=0 \}$
$b(-v_x-v_y)<=0$ $rArr$ $-b(v_x+v_y)<=0$ $rArr$ $b(v_x+v_y)>=0$
Come sopra.
caso $a!=0$ e $b=0$ $W(a,0) := \{ (x,y) in RR^2 :\ ax<=0 \}$
$-av_x<=0$ $rArr$ $av_x>=0$
Idem
caso $a=b=0$ $W(0,0) := \{ (0,0)}$
W degenera nell'origine...ma è pur sempre uno spazio vettoriale anche se banale.
P.S. Forse dovevo essere più preciso e specificare che il vettore v scelto deve avere come condizione:
- $v_y!=-(a+b)/bv_x$ nel primo caso
- $v_y!=-v_x$ nel secondo caso
- $v_y!=0$ nel terzo
Insomma, v non deve trovarsi al confine.
- $v_y!=-(a+b)/bv_x$ nel primo caso
- $v_y!=-v_x$ nel secondo caso
- $v_y!=0$ nel terzo
Insomma, v non deve trovarsi al confine.
Quindi praticamente risulta che è un sottospazio solo quando a e b sono uguali a zero ?
Adesso posto la risoluzione di un esercizio uguale a questo così vediamo se ho capito
Adesso posto la risoluzione di un esercizio uguale a questo così vediamo se ho capito
Facciamo così...
In $R^2$ solo le rette passanti per l'origine e $R^2$ stesso sono spazi vettoriali
In $R^3$ solo le rette e i piani passanti per l'origine e $R^3$ stesso sono spazi vettoriali
Etc etc.
L'origine invece è sempre uno spazio vettoriale per definizione
Francamente questi esercizi li trovo deprimenti.
In $R^2$ solo le rette passanti per l'origine e $R^2$ stesso sono spazi vettoriali
In $R^3$ solo le rette e i piani passanti per l'origine e $R^3$ stesso sono spazi vettoriali
Etc etc.
L'origine invece è sempre uno spazio vettoriale per definizione
Francamente questi esercizi li trovo deprimenti.
Il fatto è che non riesco a capire queste analogie e osservazioni che fai quindi mi rimane difficile l'esercizio anche se è facile.
Sinceramente ancora non riesco a capire la risoluzione dell'esercizio. Una volta che io so che il vettore nullo appartiene al sottospazio per tutti gli \(\displaystyle a,b \in R\), devo andare a verificare se il sottospazio W(a,b) è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare ma è qui che mi blocco perché non riesco a capire che condizioni imporre per trovare a e b.
"Elia1999":
Ok allora siccome il vettore nullo appartiene a W per ogni \(\displaystyle a,b \in R\) vado a controllare se tale sottospazio è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare per tutti gli a e b :
-per quanto riguarda la somma mi risulta che il sottospazio è chiuso rispetto a questa operazione per ogni \(\displaystyle a,b \in R\)
-mentre il sottospazio è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare solo quando lo scalare per cui moltiplichiamo è maggiore uguale a zero.
Giustissimo!
Ma stai implicitamente assumendo come ipotesi che $b!=0 vv a+b !=0$, facci caso... Ed in queste ipotesi il tuo $W(a,b)$ non può essere un sottospazio, perché (come suggeriva Bokonon) esso non contiene $-mathbf(u)=(-1)*mathbf(u)$ se $mathbf(u) != mathbf(0)$.
Cosa succede se, invece, $b=0 ^^ a+b =0$?
"Elia1999":
Sinceramente mi sembra di aver sbagliato ancora una volta, non mi convince molto il risultato che ho ottenuto nel secondo punto.
Ma no, ma no... Non abbatterti.
Come detto più volte in queste pagine, quando si comincia a fare qualcosa da sé è del tutto normale avere dubbi e fare errori.
L’importante è non farsi scoraggiare e cercare di capire cosa c'è che non va e come porvi rimedio.
P.S.: Non è un caso che i $W(a,b)$ siano chiusi solo per moltiplicazione con scalari positivi. Infatti, i $W(a,b)$ sono dei semipiani.
Se \(\displaystyle a+b=0 \wedge b=0\) risulta che il sottospazio coincide con \(\displaystyle R^2\)
"Elia1999":
Il fatto è che non riesco a capire queste analogie e osservazioni che fai quindi mi rimane difficile l'esercizio anche se è facile.
Ma no Elia, intendevo solo dire che in questo genere di esercizi vedi già la soluzione in partenza. Per questo, è immediato pensare il controesempio.
Per esempio, se W è una retta che non passa per l'origine, automaticamente la confutazione è che non possiede l'elemento neutro.
Se W, è l'unione di due rette che passano per l'orgine, automaticamente la somma di due vettori (che non stiano sulla medesima retta) produce un vettore che non sta in nessuna delle due.
Se W è una circonferenza o un ellisse, la somma di due vettori che stanno sul bordo non apparterrà a W.
E via così.
Insomma ti stavo solo suggerendo di concentrarti immediatamente sulla condizione che non viene soddisfatta invece di partire con l'elenco completo delle condizioni da rispettare.
Per esempio la non chiusura rispetto al prodotto scalare era fondamentalmente equivalente a provare che $-av$ non appartiene a W perchè è equivalente a $a(-v)$...quindi lasci invariati i segni degli scalari ed evidenzi che -v che non appartiene.
Alla fine, gira e rigira era quello il punto da evidenziare.
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