Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
Ordina per
In evidenza
Ciao a tutti. Mentre mi imbattevo in vari esercizi ho trovato una matrice simmetrica e senza 0 (devo trovare gli autovalori) cosi ho pensato di ridurla a scalini per rendere più semplice il calcolo del determinate. Ora la mia domanda è: è lecito eseguire l'operazione di riduzione? Poiché guardando le soluzioni i risultati vengono completamente differenti
Ciao a tutti! Mi trovo in difficoltà con un esercizio che chiede di classificare una conica che ha la seguente equazione $x^2+6y^2-4xy=0$.
Dalla matrice associata si ottiene un determinante uguale a $0$, mentre l’invariante quadratico I è uguale a $10$: è quindi una ellisse degenere.
Il problema sorge quando devo determinare le rette in cui degenera la conica. Io ho raggruppato cosi: $6y^2+y(-4x)+(x^2)$; risolvendo l’equazione però il discriminante sotto radice mi esce ...
Sia \( V \) uno \(K \) spazio vettoriale e \( U_1 \), \( U_2 \) due sottospazi vettoriali di \( V \). Dimostra che \( U_1 \cup U_2 \) è un sottospazio vettoriale se e solo se \( U_1 \subset U_2 \) oppure \( U_2 \subset U_1 \).
Io ho dato questa dimostrazione (va bene?)
\( \Leftarrow \): Supponiamo, senza perdità di generalità, che \( U_1 \subset U_2 \) allora \( U_1 \cup U_2 = U_2 \) che per ipotesi è un sottospazio vettoriale di \( V \).
\( \Rightarrow \): Supponiamo che \( U_1 \cup U_2 \) ...
Buongiorno. Devo dimostrare questa cosa:
Sia $X$ uno spazio topologico, $A\subseteqX$ sottospazio denso di $X$ e $Y$ uno spazio topologico $T1$:
sia $f: X\rightarrowY $ una funzione continua che è costante su $A$. Dimostrare che $f$ è costante su tutto $X$.
Io so che date due funzioni $f: X\rightarrowY $ e $g: X\rightarrowY $ continue, con $Y$ spazio di Hausdorff, che coincidono su un ...
Buongiorno,
ho questo esercizio da svolgere:
In $A_3(C)$ si consideri la quadrica di equazione Q : $x^2 − 4xz + 2x + 4z + 1 = 0$.
• Si riconosca la quadrica Q precisando la natura dei suoi punti semplici.
Ho fatto la matrice di A e ho trovato che il rango di A vale 3.
Il deteterminante di $(A^*)$ $=$ $0$ quindi è un cilindro iperbolico.
La natura dei punti semplici è di tipo parabolico.
Detto questo non sono in grado di fare il secondo punto.
• Si riconosca ...
In $A^3(C)$ si consideri la quadrica di equazione $Q$ $=$ $2x^2 + y^2 + 3z^2 + 4xz + 2yz -1 = 0$
Tramite i vari calcoli sono arrivata a definire che la quadrica è un cilindro ellittico con punti semplici parabolici.
Sono bloccata su questo punto:
• Si scrivano, se esistono, le equazioni cartesiane di un piano α tale che $Q ∩ α$ sia una ellisse e di un piano $β$ tale che
$Q ∩ β$ sia una parabola. Nel caso in cui il piano non esista si motivi la ...
Sono un po' confuso, sulla correzione di un esercizio vero/falso
(a) Il cogniugato \(r \circ s \circ r^{-1} \) di una simmetria assiale (affine) per una rotazione affine è una simmetria assiale (affine).
Io avrei risposto falso!
(b) La composizione \(r \circ s \) di una rotazione (affine) e una simmetria assiale (affine) è una simmetria assiale (affine)
Io avrei risposto vero.
Questo perché abbiamo visto un teorema in corso che dice:
L'insieme \( \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)^{+} \) delle ...
a) $f$ è una retrazione, non è per forza $fj=1$, ma $fj'=1$ per qualche $j' : A\to X$; per il resto sì, si fa proprio così.
b) Hai sostanzialmente ridimostrato che un retratto di deformazione è un'equivalenza omotopica.
c) Prendi la sfera e l'inclusione nel disco (in dimensione $n\ge 2$).
Ciao a tutti.
Una volta definita una conica come luogo dei punti del piano che annullano un polinomio di grado 2 in 2 variabili, e una curva del piano come applicazione di un intervallo di R nel piano stesso, è possibile dimostrare, nel caso generale, che ogni conica è il sostegno di una curva? La dimostrazione c'è nei casi particolari: ellisse, iperbole, parabola, ma mi chiedevo se esistesse una dimostrazione del tutto in generale, solo sulla base delle due precedenti definizioni. Potreste ...
Ciao a tutti. Non riesco proprio a risolvere questo problema che mi genera non poca frustrazione. Sarei veramente grato se qualcuno riuscisse ad aiutarmi.
Se f : V −→W e g : W−→Z sono applicazioni lineari iniettive g ◦ f e’
iniettiva?
Se Im(g) = Z, f e’ isomorfismo?
Ho provato applicando il teorema della dimensione ma tutto cio` che riesco a dimostrare e` che la dimensione V
Tra un festeggiamento e l'altro, tra un panettone ed un pandoro, vi propongo un esercizio di topologia (forse sarebbe meglio dire di metrica, visto che si lavora solo su spazi metrici).
$(a)$ Mostrare che se $(X,d)$ è uno spazio metrico totalmente limitato, allora per ogni isometria $f:X\toX$ l'immagine $f(X)$ è densa in $X$. Allego un suggerimento per questo punto.
Dimostrare che $AAx\inX$ la successione $f(x),f(f(x)),...$ ha una ...
Ciao a tutti avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio:
Si consideri il sistema omogeneo : $ Sigma :{ ( x1+2 x2- x3+x5=0 ),( 2x1+4x2+x3-x5=0 ),( x1+2x2+2x3+(k+3)x5=0 ):} $
determinare l'insieme delle soluzioni e e la dimensione al variare di k:
$ ( ( 1 , 2 , -1 , 0 , 1 ),( 2 , 4 , 1 , 0 , -1 ),( 1 , 2 , 2 , 0 , k+3 ) ) $
l'ho ridotta a scalini e per k diverso da -8 il rango della matrice è 3 (quindi la dimensione è 3 oppure numero di incognite meno il rango e quindi due?)
e l'insieme delle soluzioni u= { (-2a+2c/k+5, a, c/k+5,b, c/k+5)}
per k=-8 il rango mi risulta essere 1 (ho sempre lo stesso dubbio di ...
Buongiorno.
E' noto che gli autovettori di una matrice simmetrica, relativi ad autovalori distinti, sono perpendicolari.
Vale il contrario? Cioè si può affermare che se una matrice ha gli autovettori perpendicoli allora sarà simmetrica?
Grazie
salve non capisco perchè il prodotto scalare tra un sym e uno skw dovrebbe essere nullo, posso capire se sono sym e skw dello stesso tensore allora dovrebbero essere ortogonali tra di loro, ma in generale questo perchè dovrebbe essere vero ? io ho fatto questo conto so che M è un tensore del secondo ordine e lo scompongo cosi;
sym =$ 1/2(M+M') $ e skw = $ 1/2(M-M') $ allora devo trovare quando
$ 1/2(M+M')*1/2(M-M') =0 $
$ 1/4(M'M-M'M'+MM-MM')=0 $
ma se prendo ad esempio M1 e M2 uno sym e uno skw ...
Ciao a tutti vorrei un aiuto con questo esercizio in quanto non avendo i risultati non so se è giusto lo svolgimento..
Sia \( \varphi k : R^3 \rightarrow R^3 \) un'applicazione lineare avente matrice associata :
\( Ak= \begin{pmatrix} k+1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & k \end{pmatrix} \)
i) Scrivere l'applicazione lineare associata alla matrice :
Per questo punto ho fatto : \( Ak= \begin{pmatrix} k+1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ ...
Buon pomeriggio a tutti , avrei bisogno di un vostro aiuto.
Non sono sicura di aver fatto bene questo esercizio, inizio a scrivere lo svolgimento dei primi punti. Spero possiate correggermelo. Grazie in anticipo
Sia $ varphi (t) $ : R^3 --> R^3 un'applicazione lineare così definita:
i) scrivere la matrice $ Avarphi (t) $ associataa $ varphi (t) $ ;
II) discutere delle dimensioni di Im \varphi (t) al variare di t ;
III) nel caso in cui t=0, determinare il \ker (\varphi ...
Salve,
avevo un esercizio da proporvi che recita: "Esiste una matrice A appartenente a M3;3(R) tale che kerLA è contenuto in Im LA?".
Visto che chiede "Se esiste" ho pensato che basta dimostrare che ne esista una tramite un esempio. Per il teorema della dimensione ho pensato che se il rgA=3 allora dimKerA=0, perciò KerA={0} e visto che 0 appartiene a R3 apparterrà di conseguenza a ImA visto che è uguale a R3. E' giusto procedere così? E in caso quale sarebbe un modo generale per dimostrare che ...
Buongiorno,
mi sto preparando all'esame di Geometria Due e mi è venuto un dubbio nella risoluzione di un esercizio.
Il testo dell'esercizio mi dice che ho l'insieme X che corrisponde all'insieme dei numeri reali $ \R $ e ho la famiglia di sottoinsieme di $ \R $ dati da
$ \{\R\}\bigcup\{A\subseteq \R | \sqrt{2} \notin A \}$ .
So che è una topologia e mi viene richiesto di determinare la chiusura di $\Z$ in $\R$ con la topologia data.
Per definizione io so che la chiusura di un ...
Buongiorno, ho questo quesito:
Data la conica $C_k$ : $9x^2 + (k-4)y^2-36x+3(k-8)y=0$ determinare per quali valori di k la conica $C_k$ è generale e ha come centro un punto improprio.
1- Io so che il determinante della matrice della conica dev'essere diverso da 0 affinchè la conica sia generale. Il problema sta proprio qua non esce il risultato del tema d'esame.
Ho costruito la matrice: $((9,0,-18),(0,k-4,3/2(k-8)),(-18,3/2(k-8),0))$
il determinate mi esce $81/4$ $k^2$ e quindi ...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo