Grado di una mappa $S^1\to S^1$, senza dire "\(\deg f\)"

[fmnq]

Esiste una maniera di risolvere questo esercizio senza fare ricorso alla nozione di grado di una mappa $f : S^1\to S^1$.

Dando a $S^1$ la solita topologia di sottospazio che la identifica con i numeri complessi di modulo 1, consideriamo per $n,m\in\mathbb Z$ la mappa $f_{mn} : z\mapsto \bar z^m z^n$.

A che mappa corrisponde l'omomorfismo
\[
(f_{mn})_* : \pi_1(S^1,z_0) \to \pi_1(S^1,z_0)
\] indotto da $f$ a livello dei gruppi fondamentali di $S^1$?

[fmnq]

E' proprio questo che non riesco a dimostrare in maniera elementare. Cioè, uno potrebbe dire che si tratta di integrare \(\frac{f'(z)}{f(z)}\) lungo il cerchio unitario, ma questa è esattamente la definizione di grado (supponendo che ogni classe di omotopia $[f] : S^1\to S^1$ abbia un rappresentante olomorfo, altra cosa che non so dimostrare in maniera elementare).

[fmnq]

Ho riletto la tua risposta, e ho capito cosa non ho chiaro: qualsiasi cosa significhi "\(\widetilde{\gamma_0}(1)=n-m\)", come lo dimostri? In altre parole, come dimostri che "$(f\circ\gamma)(t)=exp(2\pi i t(n-m))$, che è la curva chiusa che fa $n$ giri in senso antiorario e $m$ in senso orario"?

[vict85]

Beh, per cominciare si dovrebbe dire che \(\displaystyle \pi_1( S_1, z_0) \cong \mathbb{Z} \) per ogni \(\displaystyle z_0 \). Pertanto \(f\) è definita in modo univoco dalla immagine di un generatore del gruppo (perché è un omomorfismo di gruppi con dominio un gruppo ciclico). Nota che puoi definire \(\displaystyle \deg f \) come l'immagine di questo generatore tramite \(\displaystyle f \) (visto come elemento di \(\mathbb{Z}\))[nota]E coloro che non usano un approccio analitico alla topologia tendono a farlo.[/nota].