Matrice di cambiamento di base
Salve a tutti. Come spesso capita, sono alle prese con un possibile equivoco riguardo ai cambiamenti di base. Dunque, sul mio libro c'è scritto che "la matrice di cambiamento di base da B a B' contiene per colonne le coordinate dei vettori della base B' rispetto alla base B."
Il punto è che questa affermazione cozza nettamente con ciò che c'è scritto su **** (https://www.****.it/lezioni/algebra- ... aggio.html) e su altri testi online, visto che viene definita (nel caso di **** implicitamente) in maniera inversa.
La domanda è: chi ha ragione?
Il punto è che questa affermazione cozza nettamente con ciò che c'è scritto su **** (https://www.****.it/lezioni/algebra- ... aggio.html) e su altri testi online, visto che viene definita (nel caso di **** implicitamente) in maniera inversa.
La domanda è: chi ha ragione?
Risposte
Siano \( V \) e \( W \) due spazi vettoriali (su un capo che si chiama \( \mathbb{K} \)) di basi rispettivamente \( \mathcal{V} \) e \( \mathcal{W} \); sia \( L \) un'applicazione lineare da \( V \) in \( W \).
Chi è la matrice necessariamente associata a \( L \)? Ossia, come è fatta? Perché continui a studiare per algebra lineare da ym e non ti basi su un testo decente (che potrebbe essere anche quello che hai già in mano)?
Cerca di ragionare da solo su questo, per trovare la matrice di cambio di base. Ti abbozzo comunque una risposta qui giù, ma prima dovresti cercare di fare da te.
Chi è la matrice necessariamente associata a \( L \)? Ossia, come è fatta? Perché continui a studiare per algebra lineare da ym e non ti basi su un testo decente (che potrebbe essere anche quello che hai già in mano)?
Cerca di ragionare da solo su questo, per trovare la matrice di cambio di base. Ti abbozzo comunque una risposta qui giù, ma prima dovresti cercare di fare da te.
"marco2132k":
Siano \( V \) e \( W \) due spazi vettoriali (su un capo che si chiama \( \mathbb{K} \)) di basi rispettivamente \( \mathcal{V} \) e \( \mathcal{W} \); sia \( L \) un'applicazione lineare da \( V \) in \( W \).
Chi è la matrice necessariamente associata a \( L \)? Ossia, come è fatta? Perché continui a studiare per algebra lineare da ym e non ti basi su un testo decente (che potrebbe essere anche quello che hai già in mano)?
Cerca di ragionare da solo su questo, per trovare la matrice di cambio di base. Ti abbozzo comunque una risposta qui giù, ma prima dovresti cercare di fare da te.
Deduco che ciò che è scritto sul testo corrisponde al vero... il punto è che se 800 testi (non mi riferisco solo a ****) danno una versione diversa, come fai a primo impatto a capire qual'è la definizione corretta? Mi viene da pensare che non esiste una universalmente riconosciuta...
"Daken97":Provi innanzitutto a dimostrare che sono equivalenti.
come fai a primo impatto a capire qual'è la definizione corretta?
Nella definizione riportata su da te, la "matrice del cambiamento di base" è la matrice che ha per colonne (usando i termini del mio messaggio precedente) le coordinate, espresse nella base \( \mathcal{W} \) "di arrivo", dei vettori \( v_1,\dots,v_n \) della base \( \mathcal{V} \) di partenza.
Questa def. è uguale a quella di ym o che ho scritto io qui. Ti faccio un breve esempio, riguardo a \( V=\mathbb{R}^2 \), come spazio vettoriale reale: considera la base canonica \( \mathcal{V} \), e un'altra base \( \mathcal{W} \) dei vettori \( {^t(1,1)} \) e \( {^t(-1,2)} \); la matrice \( A_{\mathcal{V},\mathcal{W}} \) "di cambio base" da \( \mathcal{V} \) a \( \mathcal{W} \), è (per definizione) la matrice associata alla funzione identica di \( V \).
Allora, per trovare la matrice associata a \( \operatorname{id}_V \) (se non ti fosse al momento presente, \( \operatorname{id}_V \) è la funzione \( V\to V \) che associa ogni \( v\in V \) con sé stesso), occorre determinare le coordinate delle immagini \( \operatorname{id}_V\left(v_i\right) \) dei vettori \( v_i \) della base di partenza, espresse rispetto alla base di arrivo: chi sono \( \operatorname{id}_V\left({^t(1,1)}\right) \) e \( \operatorname{id}_V\left({^t(-1,2)}\right) \)? Chi sono ora questi nella base di arrivo?
Alla fine se \( \operatorname{id}_V\left({^t(1,1)}\right) = {^t(\alpha_{11}, \alpha_{12})} \) e \( \operatorname{id}_V\left({^t(-1,2)}\right) = {^t(\alpha_{21}, \alpha_{22})} \) avrai
\[
A_{\mathcal{V},\mathcal{W}}=\begin{pmatrix}
\alpha_{11} & \alpha_{12}\\
\alpha_{21} & \alpha_{22}\\
\end{pmatrix}
\]
dove i coefficienti \( \alpha_ij \) possono benissimo essere determinati da te.
Vedi che è proprio vero che
"Daken97":
la matrice di cambiamento di base da B a B' contiene per colonne le coordinate dei vettori della base B' rispetto alla base B.
"marco2132k":Provi innanzitutto a dimostrare che sono equivalenti.
[quote="Daken97"]come fai a primo impatto a capire qual'è la definizione corretta?
Nella definizione riportata su da te, la "matrice del cambiamento di base" è la matrice che ha per colonne (usando i termini del mio messaggio precedente) le coordinate, espresse nella base \( \mathcal{W} \) "di arrivo", dei vettori \( v_1,\dots,v_n \) della base \( \mathcal{V} \) di partenza.
Questa def. è uguale a quella di ym o che ho scritto io qui. Ti faccio un breve esempio, riguardo a \( V=\mathbb{R}^2 \), come spazio vettoriale reale: considera la base canonica \( \mathcal{V} \), e un'altra base \( \mathcal{W} \) dei vettori \( {^t(1,1)} \) e \( {^t(-1,2)} \); la matrice \( A_{\mathcal{V},\mathcal{W}} \) "di cambio base" da \( \mathcal{V} \) a \( \mathcal{W} \), è (per definizione) la matrice associata alla funzione identica di \( V \).
Allora, per trovare la matrice associata a \( \operatorname{id}_V \) (se non ti fosse al momento presente, \( \operatorname{id}_V \) è la funzione \( V\to V \) che associa ogni \( v\in V \) con sé stesso), occorre determinare le coordinate delle immagini \( \operatorname{id}_V\left(v_i\right) \) dei vettori \( v_i \) della base di partenza, espresse rispetto alla base di arrivo: chi sono \( \operatorname{id}_V\left({^t(1,1)}\right) \) e \( \operatorname{id}_V\left({^t(-1,2)}\right) \)? Chi sono ora questi nella base di arrivo?
Alla fine se \( \operatorname{id}_V\left({^t(1,1)}\right) = {^t(\alpha_{11}, \alpha_{12})} \) e \( \operatorname{id}_V\left({^t(-1,2)}\right) = {^t(\alpha_{21}, \alpha_{22})} \) avrai
\[
A_{\mathcal{V},\mathcal{W}}=\begin{pmatrix}
\alpha_{11} & \alpha_{12}\\
\alpha_{21} & \alpha_{22}\\
\end{pmatrix}
\]
dove i coefficienti \( \alpha_ij \) possono benissimo essere determinati da te.
Vedi che è proprio vero che
"Daken97":[/quote]
la matrice di cambiamento di base da B a B' contiene per colonne le coordinate dei vettori della base B' rispetto alla base B.
Scusa, può darsi che abbia idee un po' confuse, ma a me quelle definizioni non sembrano assolutamente equivalenti... faccio un esempio. Ho due basi B=( (1,0), (0,1) ) e B'=( (6,0), (0,4) ), e voglio scrivere la matrice di cambiamento di base da B a B'.
Se usassi il metodo indicato da ****, dovrei scrivere i vettori di B come combinazione lineari dei vettori della base B', e quindi INDIVIDUARE LE COORDINATE DEI VETTORI DELLA BASE B RISPETTO ALLE BASE B'.
Ciò che è scritto sul libro (" la matrice di cambiamento di base da B a B' contiene per colonne le coordinate dei vettori della base B' rispetto alla base B.") è esattamente l'opposto, perciò come facciamo a dire che le 2 definizioni si equivalgono?
In particolare:
(1,0)= 1/6(6,0)+0(0,1)
(0,1)= 0(6,0)+1/4(0,4)
Stando invece alla definizione del libro:
(6,0)=6(1,0)+0(0,1)
(0,4)= 0(1,0)+4(0,1)
Quindi, come puoi vedere, i risultati sono totalmente diversi, visto che la prima matrice conterrebbe (per colonne) i vettori (6,0) e (0,4), mentre la seconda (1/6,0) e (0,1/4).
Ho capito ciò che intendi ora. La definizione di matrice di cambio di base, come matrice associata all'identica \( \operatorname{id}_V \) rispetto a due basi ti è chiara credo.
A 'sto punto se \( B \) è la base di partenza e \( B' \) è la base di arrivo, la colonna \( j \)-esima della matrice \( A_{B,B'} \) per passare da \( B \) a \( B' \) sarà data dalle coordinate del vettore \( j \)-esimo di \( B \), espresse in \( B' \).
Se facessi il contrario (se mettessi sulla colonna \( j \)-esima le coordinate rispetto a \( B \) del \( j \)-esimo vettore di \( B' \)), troveresti la matrice di cambio di base da \( B' \) a \( B \): ossia quella che "torna indietro" rispetto alla precedente.
La giustificazione di questo fatto (che non va memorizzato, non è una "legge") ce l'hai se pensi a come è definita la matrice associata ad un'applicazione lineare tra spazi vettoriali.
Le due def. si equivalgono, nel senso che sempre di una matrice di cambiamento di base stiamo parlando. Però l'ordine della base di partenza e della base di arrivo conta.
[ot]
A 'sto punto se \( B \) è la base di partenza e \( B' \) è la base di arrivo, la colonna \( j \)-esima della matrice \( A_{B,B'} \) per passare da \( B \) a \( B' \) sarà data dalle coordinate del vettore \( j \)-esimo di \( B \), espresse in \( B' \).
Se facessi il contrario (se mettessi sulla colonna \( j \)-esima le coordinate rispetto a \( B \) del \( j \)-esimo vettore di \( B' \)), troveresti la matrice di cambio di base da \( B' \) a \( B \): ossia quella che "torna indietro" rispetto alla precedente.
La giustificazione di questo fatto (che non va memorizzato, non è una "legge") ce l'hai se pensi a come è definita la matrice associata ad un'applicazione lineare tra spazi vettoriali.
Le due def. si equivalgono, nel senso che sempre di una matrice di cambiamento di base stiamo parlando. Però l'ordine della base di partenza e della base di arrivo conta.
[ot]
"Daken97":Il tuo testo è per caso il Lang edito da Boringhieri? Se sì, sappi che non ho mai visto un testo con così tanti errori di stampa in vita mia.[/ot]
" la matrice di cambiamento di base da B a B' contiene per colonne le coordinate dei vettori della base B' rispetto alla base B.")
"marco2132k":Il tuo testo è per caso il Lang edito da Boringhieri? Se sì, sappi che non ho mai visto un testo con così tanti errori di stampa in vita mia.[/ot][/quote]
Ho capito ciò che intendi ora. La definizione di matrice di cambio di base, come matrice associata all'identica \( \operatorname{id}_V \) rispetto a due basi ti è chiara credo.
A 'sto punto se \( B \) è la base di partenza e \( B' \) è la base di arrivo, la colonna \( j \)-esima della matrice \( A_{B,B'} \) per passare da \( B \) a \( B' \) sarà data dalle coordinate del vettore \( j \)-esimo di \( B \), espresse in \( B' \).
Se facessi il contrario (se mettessi sulla colonna \( j \)-esima le coordinate rispetto a \( B \) del \( j \)-esimo vettore di \( B' \)), troveresti la matrice di cambio di base da \( B' \) a \( B \): ossia quella che "torna indietro" rispetto alla precedente.
La giustificazione di questo fatto (che non va memorizzato, non è una "legge") ce l'hai se pensi a come è definita la matrice associata ad un'applicazione lineare tra spazi vettoriali.
Le due def. si equivalgono, nel senso che sempre di una matrice di cambiamento di base stiamo parlando. Però l'ordine della base di partenza e della base di arrivo conta.
[ot][quote="Daken97"]" la matrice di cambiamento di base da B a B' contiene per colonne le coordinate dei vettori della base B' rispetto alla base B.")
No, è Marco Abate/Chiara De Fabriitis. Il punto è che sul web stesso ho riscontrato tantissime discordanze, per questo non riesco a risolvere la questione, dato che riguarda una definizione. Mi è sorto il dubbio che magari non ne esiste una riconosciuta universalmente...
Io non vorrei dire castronerie allucinanti, ma le due definizioni non mi sembrano equivalenti...
E la mia professoressa di Algebra Lineare ha dato la seguente definizione:
Notazione con \( ( \phi )_{B_V}^{B_W} \) indichiamo la matrice dell'applicazione lineare da \( \phi : V \rightarrow W \) fissate due basi rispettivamente \( B_V \) e \( B_W \).
Definizione 6.4.1. :
Siano \( B=(e_1, \ldots, e_n) \) e \( B' = (f_1, \ldots , f_n ) \) due basi di un \( K\)-spazio vettoriale. Esprimiamo gli \( f_j\) rispetto alla base \( B \):
\( f_j = p_{1j}e_1 + \ldots + p_{nj}e_n \), per \( 1 \leq j \leq n \) e \( p_{ij} \in K \)
Definiamo la matrice \( P \in M_n(K) \) per \( P=(p_{ij}) \), dunque la \( j\)-esima colonna di \( P \) è il vettore colonna \( (f_j)_B \). La matrice \( P \in M_n(K) \) si chiama la matrice di cambiamento di base tra \( B' \) e la base \( B \). O la matrice di passaggio tra la base \( B'\) e la base \( B \). Notiamo che \( P \) è la matrice dell'applicazione identità \( \operatorname{id}_V : V \rightarrow V \) , per rapporto alla base \( B' \) e la base \( B \), dunque \( P= (\operatorname{id}_V)_{B'}^{B}\)
Proposizione 6.4.2. Siano \( V \), \( B \), \( B'\) e \( P\) come nella definizione 6.4.1. e sia \( v \in V \) allora \( P \cdot (v)_{B'} = ( v)_{B} \)
Dimostrazione: \( P \cdot (v)_{B'} =(\operatorname{id}_V)_{B'}^{B} \cdot (v)_{B'}= (\operatorname{id}_V(v))_{B} = ( v)_{B} \)
Proposizione 6.4.3 Matrice di passaggio inversa. Sia \( P = (\operatorname{id}_V)_{B'}^{B} \) la matrice di passaggio tra le basi \( B' \) e \( B \). Allora \( P \) è inversibile e la sua inversa è la matrice di passaggio \(P^{-1}= (\operatorname{id}_V)_{B}^{B'} \) tra le basi \( B \) e \( B' \).
Dimostrazione: Per il corollario 6.3.11, la matrice \( P = (\operatorname{id}_V)_{B'}^{B} \) è inversibile e la sua inversa è la matrice dell'applicazione \( \operatorname{id}_V^{-1} \), per rapporto alle basi \( B \) e \( B' \) (in questo ordine), dunque
\(P^{-1}=(\operatorname{id}_{V}^{-1})_{B}^{B'} = (\operatorname{id}_V)_{B}^{B'} \)
Il corollario 6.3.11 dice. Se \( \phi \in \mathcal{L}(V,W) \) è biiettivo, allora la matrice \( (\phi)_{B_V}^{B_W} \) è inversibile e
\( (\phi^{-1})_{B_W}^{B_V} = ( (\phi)_{B_V}^{B_W} )^{-1} \)
In più se \( A \in M_n(K) \) è una matrice inversibile, allora esiste \( \psi \in \mathcal{L}(V,W) \) biiettivo tale che \( A= (\psi)_{B_V}^{B_W} \)
Dunque la definizione che hai te ti da l'inversa della matrice di cambiamento di base e non la matrice di cambiamento di base, quindi mi sembra scorretta!
E la mia professoressa di Algebra Lineare ha dato la seguente definizione:
Notazione con \( ( \phi )_{B_V}^{B_W} \) indichiamo la matrice dell'applicazione lineare da \( \phi : V \rightarrow W \) fissate due basi rispettivamente \( B_V \) e \( B_W \).
Definizione 6.4.1. :
Siano \( B=(e_1, \ldots, e_n) \) e \( B' = (f_1, \ldots , f_n ) \) due basi di un \( K\)-spazio vettoriale. Esprimiamo gli \( f_j\) rispetto alla base \( B \):
\( f_j = p_{1j}e_1 + \ldots + p_{nj}e_n \), per \( 1 \leq j \leq n \) e \( p_{ij} \in K \)
Definiamo la matrice \( P \in M_n(K) \) per \( P=(p_{ij}) \), dunque la \( j\)-esima colonna di \( P \) è il vettore colonna \( (f_j)_B \). La matrice \( P \in M_n(K) \) si chiama la matrice di cambiamento di base tra \( B' \) e la base \( B \). O la matrice di passaggio tra la base \( B'\) e la base \( B \). Notiamo che \( P \) è la matrice dell'applicazione identità \( \operatorname{id}_V : V \rightarrow V \) , per rapporto alla base \( B' \) e la base \( B \), dunque \( P= (\operatorname{id}_V)_{B'}^{B}\)
Proposizione 6.4.2. Siano \( V \), \( B \), \( B'\) e \( P\) come nella definizione 6.4.1. e sia \( v \in V \) allora \( P \cdot (v)_{B'} = ( v)_{B} \)
Dimostrazione: \( P \cdot (v)_{B'} =(\operatorname{id}_V)_{B'}^{B} \cdot (v)_{B'}= (\operatorname{id}_V(v))_{B} = ( v)_{B} \)
Proposizione 6.4.3 Matrice di passaggio inversa. Sia \( P = (\operatorname{id}_V)_{B'}^{B} \) la matrice di passaggio tra le basi \( B' \) e \( B \). Allora \( P \) è inversibile e la sua inversa è la matrice di passaggio \(P^{-1}= (\operatorname{id}_V)_{B}^{B'} \) tra le basi \( B \) e \( B' \).
Dimostrazione: Per il corollario 6.3.11, la matrice \( P = (\operatorname{id}_V)_{B'}^{B} \) è inversibile e la sua inversa è la matrice dell'applicazione \( \operatorname{id}_V^{-1} \), per rapporto alle basi \( B \) e \( B' \) (in questo ordine), dunque
\(P^{-1}=(\operatorname{id}_{V}^{-1})_{B}^{B'} = (\operatorname{id}_V)_{B}^{B'} \)
Il corollario 6.3.11 dice. Se \( \phi \in \mathcal{L}(V,W) \) è biiettivo, allora la matrice \( (\phi)_{B_V}^{B_W} \) è inversibile e
\( (\phi^{-1})_{B_W}^{B_V} = ( (\phi)_{B_V}^{B_W} )^{-1} \)
In più se \( A \in M_n(K) \) è una matrice inversibile, allora esiste \( \psi \in \mathcal{L}(V,W) \) biiettivo tale che \( A= (\psi)_{B_V}^{B_W} \)
Dunque la definizione che hai te ti da l'inversa della matrice di cambiamento di base e non la matrice di cambiamento di base, quindi mi sembra scorretta!
"3m0o":
Io non vorrei dire castronerie allucinanti, ma le due definizioni non mi sembrano equivalenti...
E la mia professoressa di Algebra Lineare ha dato la seguente definizione:
Notazione con \( ( \phi )_{B_V}^{B_W} \) indichiamo la matrice dell'applicazione lineare da \( \phi : V \rightarrow W \) fissate due basi rispettivamente \( B_V \) e \( B_W \).
Definizione 6.4.1. :
Siano \( B=(e_1, \ldots, e_n) \) e \( B' = (f_1, \ldots , f_n ) \) due basi di un \( K\)-spazio vettoriale. Esprimiamo gli \( f_j\) rispetto alla base \( B \):
\( f_j = p_{1j}e_1 + \ldots + p_{nj}e_n \), per \( 1 \leq j \leq n \) e \( p_{ij} \in K \)
Definiamo la matrice \( P \in M_n(K) \) per \( P=(p_{ij}) \), dunque la \( j\)-esima colonna di \( P \) è il vettore colonna \( (f_j)_B \). La matrice \( P \in M_n(K) \) si chiama la matrice di cambiamento di base tra \( B' \) e la base \( B \). O la matrice di passaggio tra la base \( B'\) e la base \( B \). Notiamo che \( P \) è la matrice dell'applicazione identità \( \operatorname{id}_V : V \rightarrow V \) , per rapporto alla base \( B' \) e la base \( B \), dunque \( P= (\operatorname{id}_V)_{B'}^{B}\)
Proposizione 6.4.2. Siano \( V \), \( B \), \( B'\) e \( P\) come nella definizione 6.4.1. e sia \( v \in V \) allora \( P \cdot (v)_{B'} = ( v)_{B} \)
Dimostrazione: \( P \cdot (v)_{B'} =(\operatorname{id}_V)_{B'}^{B} \cdot (v)_{B'}= (\operatorname{id}_V(v))_{B} = ( v)_{B} \)
Proposizione 6.4.3 Matrice di passaggio inversa. Sia \( P = (\operatorname{id}_V)_{B'}^{B} \) la matrice di passaggio tra le basi \( B' \) e \( B \). Allora \( P \) è inversibile e la sua inversa è la matrice di passaggio \(P^{-1}= (\operatorname{id}_V)_{B}^{B'} \) tra le basi \( B \) e \( B' \).
Dimostrazione: Per il corollario 6.3.11, la matrice \( P = (\operatorname{id}_V)_{B'}^{B} \) è inversibile e la sua inversa è la matrice dell'applicazione \( \operatorname{id}_V^{-1} \), per rapporto alle basi \( B \) e \( B' \) (in questo ordine), dunque
\(P^{-1}=(\operatorname{id}_{V}^{-1})_{B}^{B'} = (\operatorname{id}_V)_{B}^{B'} \)
Il corollario 6.3.11 dice. Se \( \phi \in \mathcal{L}(V,W) \) è biiettivo, allora la matrice \( (\phi)_{B_V}^{B_W} \) è inversibile e
\( (\phi^{-1})_{B_W}^{B_V} = ( (\phi)_{B_V}^{B_W} )^{-1} \)
In più se \( A \in M_n(K) \) è una matrice inversibile, allora esiste \( \psi \in \mathcal{L}(V,W) \) biiettivo tale che \( A= (\psi)_{B_V}^{B_W} \)
Dunque la definizione che hai te ti da l'inversa della matrice di cambiamento di base e non la matrice di cambiamento di base, quindi mi sembra scorretta!
Che sono una l'inversa dell'altra non ci sono dubbi, il punto è che troppe persona la definiscono in maniera differente... come faccio a stabilire qual è quella corretta in assenza di testi ufficiali?
Prendi per vera quella che mi ha dato la mia professoressa lei non sbaglia! 
Scherzi a parte, il tuo professore non vi ha dato una definizione in corso? Chiedi direttamente a lui per evitare fraintendimenti.
Scherzi a parte, il tuo professore non vi ha dato una definizione in corso? Chiedi direttamente a lui per evitare fraintendimenti.
"3m0o":
Prendi per vera quella che mi ha dato la mia professoressa lei non sbaglia!
Scherzi a parte, il tuo professore non vi ha dato una definizione in corso? Chiedi direttamente a lui per evitare fraintendimenti.
Quella del libro... il problema è che ogni docente la può correggere a modo suo, perciò è impossibile capire chi ha ragione e chi torto. Possibile che non esiste un portale ufficiale, o una cosa simile?
@Daken97 scusami, ma ti è stato detto che, per definizione (controlla dove vuoi), la matrice associata ad un'applicazione lineare tra spazi vettoriali \( V \) e \( W \) di basi rispettivamente \( \mathcal{V} \) e \( \mathcal{W} \) è la matrice che ha per colonna \( j \)-esima le coordinate, espresse rispetto a \( \mathcal{W} \), del vettore \( j \)-esimo di \( \mathcal{V} \).
La "matrice di cambio base" da una base \( B \) che convenzionalmente diciamo "di partenza", a una base \( B' \) che convenzionalmente diciamo "di arrivo", puoi ricavartela da solo, senza andare a guardare misteriche definizioni, come la matrice associata all'applicazione identica \( \operatorname{id}_V:V\to V \), rispetto (in ordine) alla base di partenza e alla base di arrivo. Poi saprai tu chi è la base di partenza e la base di arrivo, ma la def. non cambia, e quello che ti riporto nelle quattro righe qui sopra, che se avessi letto e compreso non continueresti a dire che "non vi è una definizione universalmente accettata", cerca semplicemente di spiegare perché la def. non cambia.
Quello che riporta il tuo testo, in luce della def matrice associata ad un'applicazione lineare, è un errore: \( B \) e \( B' \) sono invertiti, e quella che trova non è la matrice da \( B \) a \( B' \), ma la matrice da \( B' \) a \( B \).
La "matrice di cambio base" da una base \( B \) che convenzionalmente diciamo "di partenza", a una base \( B' \) che convenzionalmente diciamo "di arrivo", puoi ricavartela da solo, senza andare a guardare misteriche definizioni, come la matrice associata all'applicazione identica \( \operatorname{id}_V:V\to V \), rispetto (in ordine) alla base di partenza e alla base di arrivo. Poi saprai tu chi è la base di partenza e la base di arrivo, ma la def. non cambia, e quello che ti riporto nelle quattro righe qui sopra, che se avessi letto e compreso non continueresti a dire che "non vi è una definizione universalmente accettata", cerca semplicemente di spiegare perché la def. non cambia.
Quello che riporta il tuo testo, in luce della def matrice associata ad un'applicazione lineare, è un errore: \( B \) e \( B' \) sono invertiti, e quella che trova non è la matrice da \( B \) a \( B' \), ma la matrice da \( B' \) a \( B \).
"marco2132k":
@Daken97 scusami, ma ti è stato detto che, per definizione (controlla dove vuoi), la matrice associata ad un'applicazione lineare tra spazi vettoriali \( V \) e \( W \) di basi rispettivamente \( \mathcal{V} \) e \( \mathcal{W} \) è la matrice che ha per colonna \( j \)-esima le coordinate, espresse rispetto a \( \mathcal{W} \), del vettore \( j \)-esimo di \( \mathcal{V} \).
La "matrice di cambio base" da una base \( B \) che convenzionalmente diciamo "di partenza", a una base \( B' \) che convenzionalmente diciamo "di arrivo", puoi ricavartela da solo, senza andare a guardare misteriche definizioni, come la matrice associata all'applicazione identica \( \operatorname{id}_V:V\to V \), rispetto (in ordine) alla base di partenza e alla base di arrivo. Poi saprai tu chi è la base di partenza e la base di arrivo, ma la def. non cambia, e quello che ti riporto nelle quattro righe qui sopra, che se avessi letto e compreso non continueresti a dire che "non vi è una definizione universalmente accettata", cerca semplicemente di spiegare perché la def. non cambia.
Quello che riporta il tuo testo, in luce della def matrice associata ad un'applicazione lineare, è un errore: \( B \) e \( B' \) sono invertiti, e quella che trova non è la matrice da \( B \) a \( B' \), ma la matrice da \( B' \) a \( B \).
Sì, ma chi mi da la certezza che ciò che è scritto sul libro è un errore mentre quella che cita la matrice identica è corretta? Anche perché non riguarda un solo testo, ma almeno una ventina di fonti che espongono tesi differenti. Ho guardato anche siti inglesi, e anche lì ho riscontrato discordanze. È possibile risalire in qualche modo alla definizione ufficiale, e quindi al matematico che l'ha partorita? Probabilmente solo lui è attendibile al 100 %.
Cita queste fonti qui. Se ho tempo controllo e ti cerco di chiarirti la cosa.
"marco2132k":
Cita queste fonti qui. Se ho tempo controllo e ti cerco di chiarirti la cosa.
Sostengono semplicemente ciò che è scritto sul mio libro... poi ci sono quelle (riprese peraltro da wikipedia) che sostengono esattamente ciò che hai scritto tu, con le dovute conseguenze. Insomma, tutto e il contrario di tutto.
Ma no,
Per determinare quell applicazione lineare (e quindi la sua matrice) che dato un vettore espresso in una certa base \( B \) ti restituisca lo stesso vettore espresso in una base \( \tilde{B} \), indipendentemente da quale delle due definizioni utilizzi ottieni la medesima matrice, ovvero quella che ha per vettori colonna le componenti dei vettori di \( B \) espressi nella base \( \tilde{B} \).
Ora è un problema di lingua, con matrice di cambiamento di base tra \( B \) e \( \tilde{B} \), naturalmente mi verrebbe da pensare proprio a quanto descritto sopra. Se invece per qualcuno significa che cerco una matrice che dato un vettore espresso nella base \( \tilde{B} \) ti restituisca lo stesso vettore espresso nella base \( B \), non dico che ha torto necessariamente anche perché non sono un linguista, ma lo trovo un po' contorto
Per determinare quell applicazione lineare (e quindi la sua matrice) che dato un vettore espresso in una certa base \( B \) ti restituisca lo stesso vettore espresso in una base \( \tilde{B} \), indipendentemente da quale delle due definizioni utilizzi ottieni la medesima matrice, ovvero quella che ha per vettori colonna le componenti dei vettori di \( B \) espressi nella base \( \tilde{B} \).
Ora è un problema di lingua, con matrice di cambiamento di base tra \( B \) e \( \tilde{B} \), naturalmente mi verrebbe da pensare proprio a quanto descritto sopra. Se invece per qualcuno significa che cerco una matrice che dato un vettore espresso nella base \( \tilde{B} \) ti restituisca lo stesso vettore espresso nella base \( B \), non dico che ha torto necessariamente anche perché non sono un linguista, ma lo trovo un po' contorto
"3m0o":
Ma no,
Per determinare quell applicazione lineare (e quindi la sua matrice) che dato un vettore espresso in una certa base \( B \) ti restituisca lo stesso vettore espresso in una base \( \tilde{B} \), indipendentemente da quale delle due definizioni utilizzi ottieni la medesima matrice, ovvero quella che ha per vettori colonna le componenti dei vettori di \( B \) espressi nella base \( \tilde{B} \).
Ora è un problema di lingua, con matrice di cambiamento di base tra \( B \) e \( \tilde{B} \), naturalmente mi verrebbe da pensare proprio a quanto descritto sopra. Se invece per qualcuno significa che cerco una matrice che dato un vettore espresso nella base \( \tilde{B} \) ti restituisca lo stesso vettore espresso nella base \( B \), non dico che ha torto necessariamente anche perché non sono un linguista, ma lo trovo un po' contorto
Quindi è una questione di pura definizione. Bisognerebbe risalire alle fonti originali per capire chi ha ragione.
È una cosa che aveva dato paranoie pure a me, perché vedevo usare definizioni differenti.
Non so se la cosa accada per un bisogno di emancipazione scientifica o perché lo si ricorda meglio, visto che come altri hanno detto rappresentano la stessa identica cosa.
Alcuni definiscono la matrice di passaggio da $B$ a $B’$ come la matrice rappresentativa dell’applicazione $Id:V->V$ con base in entrata $B$ e base in uscita $B’$
Altri definiscono la matrice di passaggio da $B$ a $B’$ come la matrice rappresentativa dell’applicazione $Id:V->V$ con base in entrata $B’$ e base in uscita $B$
Le due definizioni sono equivalenti per un motivo abbastanza semplice: se $P$ rappresenta la prima applicazione identica e $Q$ la seconda, allora la composizione delle due identità sarà l’endomorfismo identico rispetto alla stessa base(che ha matrice rappresentativa la matrice identica).
Ricordando che moltiplicare le matrici rappresentative significa comporre le applicazioni rappresentate si ottiene proprio che $P*Q=I_n$
Quindi l’unica differenza sta nel fatto che sono l’una l’inversa dell’altra
Non so se la cosa accada per un bisogno di emancipazione scientifica o perché lo si ricorda meglio, visto che come altri hanno detto rappresentano la stessa identica cosa.
Alcuni definiscono la matrice di passaggio da $B$ a $B’$ come la matrice rappresentativa dell’applicazione $Id:V->V$ con base in entrata $B$ e base in uscita $B’$
Altri definiscono la matrice di passaggio da $B$ a $B’$ come la matrice rappresentativa dell’applicazione $Id:V->V$ con base in entrata $B’$ e base in uscita $B$
Le due definizioni sono equivalenti per un motivo abbastanza semplice: se $P$ rappresenta la prima applicazione identica e $Q$ la seconda, allora la composizione delle due identità sarà l’endomorfismo identico rispetto alla stessa base(che ha matrice rappresentativa la matrice identica).
Ricordando che moltiplicare le matrici rappresentative significa comporre le applicazioni rappresentate si ottiene proprio che $P*Q=I_n$
Quindi l’unica differenza sta nel fatto che sono l’una l’inversa dell’altra
"anto_zoolander":
È una cosa che aveva dato paranoie pure a me, perché vedevo usare definizioni differenti.
Non so se la cosa accada per un bisogno di emancipazione scientifica o perché lo si ricorda meglio, visto che come altri hanno detto rappresentano la stessa identica cosa.
Alcuni definiscono la matrice di passaggio da $B$ a $B’$ come la matrice rappresentativa dell’applicazione $id_V:V->V$ con base in entrata $B$ e base in uscita $B’$
Altri definiscono la matrice di passaggio da $B$ a $B’$ come la matrice rappresentativa dell’applicazione $id_V:V->V$ con base in entrata $B’$ e base in uscita $B$
Le due definizioni sono equivalenti per un motivo abbastanza semplice: se $P$ rappresenta la prima applicazione identica e $Q$ la seconda, allora la composizione delle due identità sarà l’endomorfismo identico rispetto alla stessa base(che ha matrice rappresentativa la matrice identica).
Ricordando che moltiplicare le matrici rappresentative significa comporre le applicazioni rappresentate si ottiene proprio che $P*Q=I_n$
Quindi l’unica differenza sta nel fatto che sono l’una l’inversa dell’altra
Sì, diciamo che le 2 definizioni sono accomunate da un aspetto, però un' ambiguità di fondo rimane... credo che si tratti di un problema storico, l'importante è che anche i docenti ne siano al corrente.
Queste cose fanno confondere. E diventerà peggio con il calcolo tensoriale. Questo è un dato di fatto e l'unico modo per superare questa confusione è fare MOLTISSIMI calcoli.
Quanto al "matematico che ha partorito per primo la definizione": Non funziona così. Non è che un giorno si alza qualcuno o qualcuna e propone una definizione a un comitato. Invece, questo qualcuno scrive una definizione nel suo articolo, o libro, alla lavagna, o parlando con qualcun'altro, e quella definizione è valida solo nel contesto in questione. E' perfettamente possibile, e anzi è normale, che la stessa parola, lo stesso simbolo, abbia un signficato completamente diverso su un altro scritto o sulla lavagna della stanza affianco. Ci vogliono decenni affinché una definizione si stabilizzi ed è molto difficile che essa arrivi al livello da essere accettata universalmente da tutti, senza bisogno di ulteriori chiarimenti.
Quanto al "matematico che ha partorito per primo la definizione": Non funziona così. Non è che un giorno si alza qualcuno o qualcuna e propone una definizione a un comitato. Invece, questo qualcuno scrive una definizione nel suo articolo, o libro, alla lavagna, o parlando con qualcun'altro, e quella definizione è valida solo nel contesto in questione. E' perfettamente possibile, e anzi è normale, che la stessa parola, lo stesso simbolo, abbia un signficato completamente diverso su un altro scritto o sulla lavagna della stanza affianco. Ci vogliono decenni affinché una definizione si stabilizzi ed è molto difficile che essa arrivi al livello da essere accettata universalmente da tutti, senza bisogno di ulteriori chiarimenti.
"dissonance":
Queste cose fanno confondere. E diventerà peggio con il calcolo tensoriale. Questo è un dato di fatto e l'unico modo per superare questa confusione è fare MOLTISSIMI calcoli.
Quanto al "matematico che ha partorito per primo la definizione": Non funziona così. Non è che un giorno si alza qualcuno o qualcuna e propone una definizione a un comitato. Invece, questo qualcuno scrive una definizione nel suo articolo, o libro, alla lavagna, o parlando con qualcun'altro, e quella definizione è valida solo nel contesto in questione. E' perfettamente possibile, e anzi è normale, che la stessa parola, lo stesso simbolo, abbia un signficato completamente diverso su un altro scritto o sulla lavagna della stanza affianco. Ci vogliono decenni affinché una definizione si stabilizzi ed è molto difficile che essa arrivi al livello da essere accettata universalmente da tutti, senza bisogno di ulteriori chiarimenti.
Ma sì, non è nemmeno il primo caso della storia... sussistono dei dubbi anche sulle definizioni dei punti di discontinuità, dato che alcuni sostengono che essi possono far parte del dominio, mentre altri sostengono il contrario. L'importante è che i docenti siano consapevoli del fatto che anche questa definizione non è universalmente riconosciuta.
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