Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Sia $\mathbb{R}^{3,3}$ lo spazio delle matrici quadrate reali $3 \times 3$ con la topologia ottenuta identificando mediante l'isomorfismo canonico $\mathbb{R}^{3,3}$ con $\mathbb{R}^9$ e utilizzando in $\mathbb{R}^9$ la consueta topologia metrica euclidea.
Posto $SO_3 := \{A \in \mathbb{R}^{3,3}: A$ è ortogonale e $det(A) = 1\}$ e $P := \{Q \in SO_3: Q = Q^t\}$, dove la "$t$" ad apice indica traspozione, mostrare che la mappa $\varphi: \mathbb{R}\mathbb{P}^2 \rightarrow SO_3$ che ad ogni retta $r \subseteq \mathbb{R}^3$ associa la ...
Si prendono ,indipendentemente e a caso, due punti A e B su un cerchio di centro O e raggio 1. Qual è la probabilità che il triangolo ABO sia ottusangolo?
SUGGERIMENTO: conviene ricorrere alla probabilità condizionata, vedi il topic sfera aleatoria.
Eccoci qua con il primo quesito della mia materia preferita...
Ho questa matrice $A\inM_{3,4}(RR)$:
$A=((2,1,0,-1),(1,1,-1,0),(1,0,1,-1))$
devo trovare intanto una base di $Im(A)$
Quindi faccio la riduzione a scala e trovo:
$S=((2,1,0,-1),(0,1/2,-1,1/2),(0,0,0,0))=>rgS=rgA=2=>dimImA=2=>ImA=<|(2),(1),(1)|,|(1),(1),(0)|>$
Devo poi trovare una base di $KerA$, quindi imposto il sistema $Sx=O$ dove $x$ è il generico vettore $v\inRR^4$.
Per il teorema della dimensione so in piu che $dimKerA=4-2=2$:
${(2x_1+x_2-x_4=0),(x_2/2-x_3+x_4/4=0):}=>{(x_1=1/2(x_4-x_2)),(x_2=s),(x_3=1/2(x_2+x_4)),(x_4=t):}=>{(x_1=1/2(t-s)),(x_2=s),(x_3=1/2(s+t)),(x_4=t):}=>KerA=<|(1/2),(1),(1/2),(1)|,|(-1/2),(1),(1/2),(1)|>$
Dopo devo trovare ...
Ho un dubbio sul risultato di questo esercizio (che mi sembrava banale) sulla probabilità geometrica:
per il punto (0,h) si fa passare a caso una retta ; determinare la distribuzione di probabilità della distanza della retta dall'origine degli assi.
Io ho indicato con X l'angolo che la retta forma con l'asse y dandogli una distribuzione uniforme su (0, pi/2), potevo anche considerare (-pi/2,pi/2) ma tanto per simmetria nulla cambia.
Poi con semplici calcoli ho trovato la seguente ...
Se $S_1$ ed $S_2$ sono spazi topologici arbitrari ed $f: S_1 \rightarrow S_2$ è una funzione, si dice che $f$ è propria se la retroimmagine di ogni compatto di $S_2$ è compatta in $S_1$. Mostrare che, se $S_1$ è compatto, $S_2$ è Hausdorff ed $f$ è continua, allora $f$ è una mappa propria.
Mostrare che ad ogni spazio metrico è associato uno spazio equivalente il cui diametro è pari ad 1.
Nota: due spazi metrici si dicono equivalenti se sono equivalenti le topologie indotte dalle rispettive metriche.
Ciao, avrei il seguente problema.
Conoscendo r, esiste una formula matematica che mi permetta di dire se dato un punto questo appartenga al cerchio ? (e che quindi nn cada in una delle quattro aree blu)
Grazie miLLe
Se io ho un'applicazione f=ab, dove a è un riflessione e b una proiezione calcolo la matrice che rappresenta a, quella che rappresenta b, faccio il prodotto, e trovo la matrice che rappresenta f, fin qui tutto ok.
Se poi mi viene chiesto di calcolare f^(-1)(S) dove S è un sottospazio affine, ad esempio x1+x3=5, che devo fare?
Grazie
Salve ragazzi,
ho iniziato ieri il corso di geometria alla facoltà di fisica di Lecce, il professore ha consigliato un testo di A. Sanini, il problema è che non stampano questo libro da diversi anni!
Potreste consigliarmi un buon libro di Geometria? Secondo voi dovrei prendere anche un eserciziario? Quale??
Grazie!
qualcuno mi può consigliare un libro di geometria differenziale?
il professore ci ha consigliato
J. Oprea, Differential Geometry and its Applications, Prentice Hall, 1995.
E. Kreyszig, Differential Geometry, Dover, 1991.
sarei grato se qualcuno sapesse dirmi quale è il migliore dei due...
Per i neofiti dell'algebra lineare: "siano $K$ un corpo, $n \in \mathbb{Z}^+$ e $A, B \in M_n(K)$ matrici quadrate di ordine $n$ a elementi in $K$. Se $AB = BA$, provare che $(AB)^q = A^q B^q$, per ogni $q \in \mathbb{N}$."
Essendo $A, B \in M_2(\mathbb{R}^+)$ due matrici quadrate di ordine $2$ a elementi reali positivi, mostrare che $AB = BA$ sse $(AB)^2 = (BA)^2$.
N.B.: siccome una delle due implicazione è banale, vi inviterei caldamente a concentrarvi piuttosto sull'altra!
Siano $n \in \mathbb{Z}^+$ e $A \in M_n(\mathbb{R})$ una matrice reale di ordine $n$. Mostrare che i) se $A > 0$, allora $|A| \ne 0$; ii) se $A > 0$ e $A^t = A$, allora $|A| > 0$.
Essendo $n \in \mathbb{Z}^+$ e $A, B \in M_n(\mathbb{R})$ tali che $A > 0$ e $|B| \ne 0$, mostrare che $B^t A B > 0$.
ciao a tutti sono nuovo ma leggendo vedo che questo foro è utile.. quindi espongo il mio problema:
come faccio a calcolare la dimensione del sottospazio U=W+V di R4 essendo:
V={(x,y,z,t)ЄR4 | x-y+t=0}
W={(x,y,z,t)ЄR4 | x+y+2t=0}
HELP!
Considerando 2 segnali $x(t)$ e $y(t)$ la convoluzione è $w(t)= int x(tau) y(t-tau)$. Per avere senso devono essere sommabili i 2 segnali.
Le condiz. suffucienti sono
1) i 2 segnali devono appartenere a $L^2$
2)i 2 segnali devono appartenere a $L^2$localmente o, x(t) e y(t) devono annullarsi in un intorno di + o - infinito
2)i 2 segnali devono appartenere a $L^2$localmente, uno dei 2 segnali si annulla fuori di un insieme compatto.
La ...
Sia $A=((3/4,-1/6),(1/8,5/12)) in M_2(QQ)$. Determinare tutti gli autovalori ed i relativi autovettori.
Allora ho determinato gli autovalori tramite il calcolo del determinante della matrice $A-lambdaI$.
Quindi ho calcolato il determinante di $((3/4-lambda,-1/6),(1/8,5/12-lambda))$
Ho trovato i due autovalori $lambda_1=1/2$ e $lambda_2=2/3$.
Ora determino gli autovettori relativi al generico autovalore $lambda_i$ tramite $lambda_i*V=A*V$, dove V è il vettore generico $((x_1),(x_2))$.
Ottengo due ...
Si può calcolare il rango di questa matrice?
1 1 1 1
0 1 -1 -4
Se è si come?
Grazie
Si consideri il monoide $(M_2(ZZ_2), ·)$ delle matrici quadrate di ordine 2 su $ZZ_2$ con il prodotto righe per colonne.
(1) Quanti sono gli elementi di $M_2(ZZ_2)$?
Essendo $ZZ_2={[0]_2,[1]_2}$ ed essendo le matrici quadrate di ordine due formate da quattro valori, gli elementi di $M_2(ZZ_2)$ sono determinati dalle disposizioni con ripetizione di ordine 2 in classe 4, quindi $D'_{2,4}=16$.
(2) Quanti e quali sono gli elementi simmetrizzabili del monoide ...
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