Topologia: insiemi limitati e totalmente limitati
Siano $(X, d)$ uno spazio metrico, $A \subseteq X$ ed $\epsilon > 0$. Un insieme finito $\{x_1, ..., x_n\}$ di punti di $X$ è detto una $\epsilon$-rete per $A$ se, per ogni $x \in A$, esiste $k = 1, ..., n$ tale che $d(x, x_k) < \epsilon$. Si dice poi che $A$ è totalmente limitato se possiede una $\epsilon$-rete, per ogni $\epsilon > 0$. Ebbene... i) Dimostrare che l'insieme $A$ è totalmente limitato sse, per ogni $\epsilon > 0$, esiste un ricoprimento finito ${A_1, ..., A_n}$ di $A$ tale che $diam(A_i) < \epsilon$, per ogni $i = 1, ..., n$. ii) Esibire l'esempio di un insieme limitato, ma non totalmente limitato. iii) Mostrare che un insieme totalmente limitato è anche limitato. iv) Provare che il grafico di una successione di Cauchy in $(X,d)$ è un sottoinsieme totalmente limitato di $X$.
Risposte
i) evito, pare praticamente la definizione riscritta con un $epsilon/2$.
ii) Per esempio si può sfruttare questa distanza in uno spazio di cardinalità infinita:
$x,y in (X,d)$,
$d(x,y)=1$ se x$!=y$
$d(x,y)=0$ se $x=y$
in questo modo $X$ è limitato con diametro 1. ma non totalmente limitato, visto che per $epsilon=1/2$ non esistono ricoprimenti finiti (ogni palla copre un solo punto$).
iii) Per ipotesi esiste almeno una $epsilon$ rete. Scelto un $x_0$(qualsiasi), esiste una palla appartenente alla rete con centro a distanza massima da $x_0$ (perchè le palle sono finite): chiamo $M$ questa distanza.
Prendiamo un $y in X$, e chiamo $u$ il centro della palla della rete a cui appartiente $y$. Allora per la dis triangolare:
$d(x_0,y)<=d(x_0,u)+d(y,u)<=M+epsilon$
e questo equivale alla limitatezza (lo considero "fatto noto").
iiii) non mi è chiaro. Il grafico della successione vive in $RxX$. Vero? Allora dobbiamo inserire una distanza in $RxX$ ed il metodo standard credo sia indurla in qualche modo da quelle conosciute. Ma se prendiamo il max delle distanze su R ed X (che si dimostra essere una buona definizione) otteniamo che qualsiasi successione non è limitata, che sia di Cauchy o no (infatti il sup delle distanze su R è infinito, per definizione di successione)........?????
ii) Per esempio si può sfruttare questa distanza in uno spazio di cardinalità infinita:
$x,y in (X,d)$,
$d(x,y)=1$ se x$!=y$
$d(x,y)=0$ se $x=y$
in questo modo $X$ è limitato con diametro 1. ma non totalmente limitato, visto che per $epsilon=1/2$ non esistono ricoprimenti finiti (ogni palla copre un solo punto$).
iii) Per ipotesi esiste almeno una $epsilon$ rete. Scelto un $x_0$(qualsiasi), esiste una palla appartenente alla rete con centro a distanza massima da $x_0$ (perchè le palle sono finite): chiamo $M$ questa distanza.
Prendiamo un $y in X$, e chiamo $u$ il centro della palla della rete a cui appartiente $y$. Allora per la dis triangolare:
$d(x_0,y)<=d(x_0,u)+d(y,u)<=M+epsilon$
e questo equivale alla limitatezza (lo considero "fatto noto").
iiii) non mi è chiaro. Il grafico della successione vive in $RxX$. Vero? Allora dobbiamo inserire una distanza in $RxX$ ed il metodo standard credo sia indurla in qualche modo da quelle conosciute. Ma se prendiamo il max delle distanze su R ed X (che si dimostra essere una buona definizione) otteniamo che qualsiasi successione non è limitata, che sia di Cauchy o no (infatti il sup delle distanze su R è infinito, per definizione di successione)........?????
"Thomas":
iv) non mi è chiaro. Il grafico della successione vive in $RxX$. Vero? Allora dobbiamo inserire una distanza in $RxX$ ed il metodo standard credo sia indurla in qualche modo da quelle conosciute. Ma se prendiamo il max delle distanze su R ed X (che si dimostra essere una buona definizione) otteniamo che qualsiasi successione non è limitata, che sia di Cauchy o no (infatti il sup delle distanze su R è infinito, per definizione di successione)........?????
Per grafico della successione s'intende qui l'insieme $\{x_n: n \in \mathbb{N}\}$. Per il resto... Ho controllato le tue soluzioni ai quesiti ii-iii: non c'è che dire, un buon lavoro.
Ok... bene... ho capito cosa intendi...
iv)
premessa: Considero $Y=\{x_n: n \in \mathbb{N}\}$ come spazio metrico con la metrica indotta da $(X,d)$. Noto esplicitamente che la distanza indotta da $(X,d)$ induce la medesima topologia su $Y$ che possiede $Y$ come sottospazio di $X$. Nel seguito si farà uso implicitamente di ciò. Magari posto in seguito la dimostrazione.
Supponiamo P.A. che il grafico non sia totalmente limitato. Allora esiste un $epsilon$ t.c. per ogni insieme finito di palle di raggio $epsilon$ (in $X$) esiste un punto della successione non appartenente alla loro unione. (mi dispiace ma non sono capace di usare bene mathlab).
La successione è di cauchy per ipotesi $=>$ esiste quindi un $N$ naturale t.c. per ogni $m,n>=N$, $d(x_m,x_n)=N$ vale $d(x_m,x_N)
Prendiamo ora la $epsilon$ rete con centri $x_i, i=1...N$. Per quanto osservato precedentemente, esiste un punto $x_z$ della successione fuori da questo ricoprimento: quindi $d(x_z,N)>epsilon$ e $z!=i, i=1...N$, ovvero $z>N$. Contraddizione.
iv)
premessa: Considero $Y=\{x_n: n \in \mathbb{N}\}$ come spazio metrico con la metrica indotta da $(X,d)$. Noto esplicitamente che la distanza indotta da $(X,d)$ induce la medesima topologia su $Y$ che possiede $Y$ come sottospazio di $X$. Nel seguito si farà uso implicitamente di ciò. Magari posto in seguito la dimostrazione.
Supponiamo P.A. che il grafico non sia totalmente limitato. Allora esiste un $epsilon$ t.c. per ogni insieme finito di palle di raggio $epsilon$ (in $X$) esiste un punto della successione non appartenente alla loro unione. (mi dispiace ma non sono capace di usare bene mathlab).
La successione è di cauchy per ipotesi $=>$ esiste quindi un $N$ naturale t.c. per ogni $m,n>=N$, $d(x_m,x_n)
Prendiamo ora la $epsilon$ rete con centri $x_i, i=1...N$. Per quanto osservato precedentemente, esiste un punto $x_z$ della successione fuori da questo ricoprimento: quindi $d(x_z,N)>epsilon$ e $z!=i, i=1...N$, ovvero $z>N$. Contraddizione.
"Thomas":
premessa: Considero $Y=\{x_n: n \in \mathbb{N}\}$ come spazio metrico con la metrica indotta da $(X,d)$. Noto esplicitamente che la distanza indotta da $(X,d)$ induce la medesima topologia su $Y$ che possiede $Y$ come sottospazio di $X$. Nel seguito si farà uso implicitamente di ciò. Magari posto in seguito la dimostrazione.
...ma a che diavolo mai ti serve questa premessa, scusa?!
"Thomas":
[...] mi dispiace ma non sono capace di usare bene mathlab.
Poco male, qui si usa il MathML.
P.S.: la soluzione va bene.
"DavidHilbert":
...ma a che diavolo mai ti serve questa premessa, scusa?!
oops.. mi sono confuso con le definizioni... pensavo avessi definito solo insiemi tot limitati e non insiemi totalmente limitati in un altro insieme.... sorry...
... quello mi serviva per passare agevolmente al sottospazio con la metrica indotta...va bè... cmq non ci dovrebbero essere problemi per la dimostrazione, visto che credo sia tutto equivalente... del resto hai detto anche tu che "và bene!" 
"DavidHilbert":
[...] Poco male, qui si usa il MathML.
ghgh
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