Dubbio sugli autovettori
Sia $A=((3/4,-1/6),(1/8,5/12)) in M_2(QQ)$. Determinare tutti gli autovalori ed i relativi autovettori.
Allora ho determinato gli autovalori tramite il calcolo del determinante della matrice $A-lambdaI$.
Quindi ho calcolato il determinante di $((3/4-lambda,-1/6),(1/8,5/12-lambda))$
Ho trovato i due autovalori $lambda_1=1/2$ e $lambda_2=2/3$.
Ora determino gli autovettori relativi al generico autovalore $lambda_i$ tramite $lambda_i*V=A*V$, dove V è il vettore generico $((x_1),(x_2))$.
Ottengo due sistemi di due equazioni in due incognite...
Per l'autovalore $lambda_1=1/2$:
${(1/2x_1=3/4x_1-1/6x_2),(1/2x_2=1/8x_1+5/12x_2):}$
Per l'autovalore $lambda_2=2/3$:
${(2/3x_1=3/4x_1-1/6x_2),(2/3x_2=1/8x_1+5/12x_2):}$
Come scrivo gli autovettori relativi ad un autovalore? $V_i={x in QQ^{**} : ((?),(?))}$
$V_1={x in QQ^{**} : ((x),(x/2))}$ e $V_2={x in QQ^{**} : ((2/3x),(x))}$
E' giusto?
Grazie a tutti!
Allora ho determinato gli autovalori tramite il calcolo del determinante della matrice $A-lambdaI$.
Quindi ho calcolato il determinante di $((3/4-lambda,-1/6),(1/8,5/12-lambda))$
Ho trovato i due autovalori $lambda_1=1/2$ e $lambda_2=2/3$.
Ora determino gli autovettori relativi al generico autovalore $lambda_i$ tramite $lambda_i*V=A*V$, dove V è il vettore generico $((x_1),(x_2))$.
Ottengo due sistemi di due equazioni in due incognite...
Per l'autovalore $lambda_1=1/2$:
${(1/2x_1=3/4x_1-1/6x_2),(1/2x_2=1/8x_1+5/12x_2):}$
Per l'autovalore $lambda_2=2/3$:
${(2/3x_1=3/4x_1-1/6x_2),(2/3x_2=1/8x_1+5/12x_2):}$
Come scrivo gli autovettori relativi ad un autovalore? $V_i={x in QQ^{**} : ((?),(?))}$
$V_1={x in QQ^{**} : ((x),(x/2))}$ e $V_2={x in QQ^{**} : ((2/3x),(x))}$
E' giusto?
Grazie a tutti!
Risposte
Mi pare giusto... In maniera più algoritmica...
$V_l= ker(f-lambda*$I$)$
ove V_l è l'autospazio riferito a lambda e I è la funzione identità....
$V_l= ker(f-lambda*$I$)$
ove V_l è l'autospazio riferito a lambda e I è la funzione identità....
Il procedimento che ho usato è l'unico che ho studiato durante il corso e quindi posso utilizzare solo questo. Quindi niente autospazi!
Grazie della risposta!
Ciao!
Grazie della risposta!
Ciao!
Il procedimento è giusto, i calcoli non li ho verificati.
L'autospazio non ti dice nulla di più per trovare gli autovettori.
Anzi lo hai già trovato ed è lo spazio generato dagli autovettori (1,1/2) e (2/3, 1) cioè
V=< (1,1/2),(2/3,1) >
Ovviamente se preferisci puoi indicare ad es V_1 come (2x,x) o x(2,1)
L'autospazio non ti dice nulla di più per trovare gli autovettori.
Anzi lo hai già trovato ed è lo spazio generato dagli autovettori (1,1/2) e (2/3, 1) cioè
V=< (1,1/2),(2/3,1) >
Ovviamente se preferisci puoi indicare ad es V_1 come (2x,x) o x(2,1)
Infatti se vogliamo l'uguaglianza che ho scritto sopra è una definizione... E' solo che scrivendola così si capisce meglio cosa si fà senza pensarci troppo: si passa in coordinate in una qualche base, si risolve l'equazione matriciale A-lambda*I=0 e tutte le soluzioni sono le coordinate degli autovettori... nulla di speciale, eh!...
ps: L'unica cosa sottile: mi pare che nei passaggi per giustificare quanto sopra si usi il fatto che la funzione identità ha sempre forma I, in qualunque base (sempre che la base di partenza e di arrivo siano le stesse)...
ps: L'unica cosa sottile: mi pare che nei passaggi per giustificare quanto sopra si usi il fatto che la funzione identità ha sempre forma I, in qualunque base (sempre che la base di partenza e di arrivo siano le stesse)...
o.k. 
Lucida analisi !
La cosa sottile, se vogliamo , è che si sottointende f applicazione lineare e quindi rappresentabile, data una base, univocamente da una matrice A, e su queste matrici è data un'algebra il cui elemento neutro per * si dimostra, come certo sai ,essere I.Viceversa data una base ad ogni A si associa univocamente una f lineare.
Lucida analisi !
La cosa sottile, se vogliamo , è che si sottointende f applicazione lineare e quindi rappresentabile, data una base, univocamente da una matrice A, e su queste matrici è data un'algebra il cui elemento neutro per * si dimostra, come certo sai ,essere I.Viceversa data una base ad ogni A si associa univocamente una f lineare.
all right 
... le piccole cose sono quelle più importanti per comprendere "what's going on"!
... le piccole cose sono quelle più importanti per comprendere "what's going on"!
Si, comunque in definitiva gli autovettori relativi così scritti sono esatti?
Grazie!
Ciao!
Grazie!
Ciao!
Certamente!
A meno che non hai sbagliato a fare i calcoli, ma non sto a rifarli perchè ritengo la cosa molto improbabile. Ciao!
A meno che non hai sbagliato a fare i calcoli, ma non sto a rifarli perchè ritengo la cosa molto improbabile. Ciao!
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