Matrici simmetriche e omeomorfismi proiettivi
Sia $\mathbb{R}^{3,3}$ lo spazio delle matrici quadrate reali $3 \times 3$ con la topologia ottenuta identificando mediante l'isomorfismo canonico $\mathbb{R}^{3,3}$ con $\mathbb{R}^9$ e utilizzando in $\mathbb{R}^9$ la consueta topologia metrica euclidea.
Posto $SO_3 := \{A \in \mathbb{R}^{3,3}: A$ è ortogonale e $det(A) = 1\}$ e $P := \{Q \in SO_3: Q = Q^t\}$, dove la "$t$" ad apice indica traspozione, mostrare che la mappa $\varphi: \mathbb{R}\mathbb{P}^2 \rightarrow SO_3$ che ad ogni retta $r \subseteq \mathbb{R}^3$ associa la rotazione di angolo $\pi$ attorno ad $r$ è un omeomorfismo di $\mathbb{R}\mathbb{P}^2$ in $P\setminus\{I_3\}$, se $I_3$ è la matrice identità di $\mathbb{R}^{3,3}$.
Posto $SO_3 := \{A \in \mathbb{R}^{3,3}: A$ è ortogonale e $det(A) = 1\}$ e $P := \{Q \in SO_3: Q = Q^t\}$, dove la "$t$" ad apice indica traspozione, mostrare che la mappa $\varphi: \mathbb{R}\mathbb{P}^2 \rightarrow SO_3$ che ad ogni retta $r \subseteq \mathbb{R}^3$ associa la rotazione di angolo $\pi$ attorno ad $r$ è un omeomorfismo di $\mathbb{R}\mathbb{P}^2$ in $P\setminus\{I_3\}$, se $I_3$ è la matrice identità di $\mathbb{R}^{3,3}$.
Risposte
Ciao... potresti chiarire meglio il dominio di quella funzione? 
....
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"Thomas":
Ciao... potresti chiarire meglio il dominio di quella funzione?
Lo spazio proiettivo reale 2-dimensionale (con la usuale topologia quoziente derivata dalla topologia metrica euclidea di $\mathbb{R}^3$).
ehm... forse è un es 'fuori scala' per me: credo di non sapere cosa sia un piano proiettivo ... è uno spazio quoziente derivante da $\mathbb{R}^3$ se ho ben capito.... (?)
Se hai voglia, potresti indicare con quale relazione di equivalenza quozienti $\mathbb{R}^3$ ?
... è uno spazio quoziente derivante da $\mathbb{R}^3$ se ho ben capito.... (?)Se hai voglia, potresti indicare con quale relazione di equivalenza quozienti $\mathbb{R}^3$ ?
"Thomas":
ehm... forse è un es 'fuori scala' per me: credo di non sapere cosa sia un piano proiettivo
Se hai voglia, potresti indicare con quale relazione di equivalenza quozienti $\mathbb{R}^3$ ?
Essendo $n \in \mathbb{Z}^+$, introduciamo in $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ la seguente relazione $~$: diciamo che $x ~ y$ se esiste una costante reale $\lambda \ne 0$ tale che $x = \lambda y$. Si prova che $~$ è un'equivalenza su $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$. L'insieme $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$/$~$, con la topologia quoziente ereditata da $\mathbb{R}^n$ euclideo, si dice lo spazio proiettivo reale (n-1)-dimensionale, e s'indica tipicamente con $\mathbb{R}\mathbb{P}^{n-1}$. Esiste un modo alternativo di introdurlo, che passa per l'identificazione dei punti antipodali sulla sfera unitaria $n$-dimensionale. Si mostra tuttavia che le due definizioni sono equivalenti nel senso degli omomorfismi. E poi la prima me piasce di più...
Provo a dire qualcosa:
questo punto servirebbe per ricondurre il problema a coordinate polari mediante un omeomorfismo intermedio:
1) forse conviene identificare le rette in $\mathbb{R}^3$ con le coppie $(phi,theta)$ con
$(phi,theta)in R$/${pi}$ X $R$/${pi} $ (R$/$${pi}$ indica R quozientato modulo $2pi$). Naturalmente gli angoli indicati sono quelli standard per le coordinate polari.
Probabilmente questo è un omeomorfismo da $ \mathbb{R}\mathbb{P}^2 \rightarrow R$/${pi}X R$/${pi}$, con in andata la topologia derivata della metrica euclidea ed in arrivo la topologia quoziente; tutto da verificare cmq;
2) Detto questo le matrici si possono scrivere con gli angoli di Eulero. Una generica rotazione di 180° attorno alla generice retta $r$ identificata per il punto (1) con $(phi,theta)$ si può scrivere come $P^(-1)MP$. Ora spiego cosa sono le matrici $M$ e $P$.
Con P la matrice di cambiamento di base dal sistema di riferimento $OXYZ$ (quello identificato dalla base canonica) ad un altro $OX'Y'Z'$ avente l'origine in comune ma $OZ'$ giacente sulla retta $r$. Questa si può ottenere (credo) dalle formule degli angoli di Eulero, stando attenti al fatto che non stiamo ruotando la spazio ma la base per le coordinate.
M invece è la matrice
$((-1,0,0),(0,-1,0),(0,0,1))$
in pratica eseguo la rotazione lungo il SR con una asse coincidente con la retta e poi cambio coordinate (altrimeni non avrei saputo farla).
Questa vorrebbe essere la strada su cui lavorare... è corretto perlomeno quanto scritto? O sono fuori strada ........
Alcune conclusioni si possono già trarre:
- la matrice $P^(-1)MP$ descritta sopra è ortogonale (in quanto rappresenta un'isometria rispetto al prodotto scalare euclideo in una base ortonormale);è simmetrica (infatti P stessa appartiene al gruppo ortogonale ed M è simmetrica; osservato questo basta prendere la trasposta del prodotto); il suo determinante è uguale ad 1 (basta applicare Binet);
in pratica si è verificato che la funzione del problema è perlomeno ben definita per potere essere un omeomorfismo...
questo punto servirebbe per ricondurre il problema a coordinate polari mediante un omeomorfismo intermedio:
1) forse conviene identificare le rette in $\mathbb{R}^3$ con le coppie $(phi,theta)$ con
$(phi,theta)in R$/${pi}$ X $R$/${pi} $ (R$/$${pi}$ indica R quozientato modulo $2pi$). Naturalmente gli angoli indicati sono quelli standard per le coordinate polari.
Probabilmente questo è un omeomorfismo da $ \mathbb{R}\mathbb{P}^2 \rightarrow R$/${pi}X R$/${pi}$, con in andata la topologia derivata della metrica euclidea ed in arrivo la topologia quoziente; tutto da verificare cmq;
2) Detto questo le matrici si possono scrivere con gli angoli di Eulero. Una generica rotazione di 180° attorno alla generice retta $r$ identificata per il punto (1) con $(phi,theta)$ si può scrivere come $P^(-1)MP$. Ora spiego cosa sono le matrici $M$ e $P$.
Con P la matrice di cambiamento di base dal sistema di riferimento $OXYZ$ (quello identificato dalla base canonica) ad un altro $OX'Y'Z'$ avente l'origine in comune ma $OZ'$ giacente sulla retta $r$. Questa si può ottenere (credo) dalle formule degli angoli di Eulero, stando attenti al fatto che non stiamo ruotando la spazio ma la base per le coordinate.
M invece è la matrice
$((-1,0,0),(0,-1,0),(0,0,1))$
in pratica eseguo la rotazione lungo il SR con una asse coincidente con la retta e poi cambio coordinate (altrimeni non avrei saputo farla).
Questa vorrebbe essere la strada su cui lavorare... è corretto perlomeno quanto scritto? O sono fuori strada
........Alcune conclusioni si possono già trarre:
- la matrice $P^(-1)MP$ descritta sopra è ortogonale (in quanto rappresenta un'isometria rispetto al prodotto scalare euclideo in una base ortonormale);è simmetrica (infatti P stessa appartiene al gruppo ortogonale ed M è simmetrica; osservato questo basta prendere la trasposta del prodotto); il suo determinante è uguale ad 1 (basta applicare Binet);
in pratica si è verificato che la funzione del problema è perlomeno ben definita per potere essere un omeomorfismo...
"Thomas":
1) forse conviene identificare le rette in $\mathbb{R}^3$ con le coppie $(phi,theta)$ con
$(phi,theta)in R$/${pi}$ X $R$/${pi} $ (R$/$${pi}$ indica R quozientato modulo $2pi$). Naturalmente gli angoli indicati sono quelli standard per le coordinate polari.
Ho letto il tuo accrocco dimostrativo preliminare: al momento osservo soltanto che non è $R$/${\pi}$ x $R$/${\pi}$, ma $R$/${2\pi}$ X $R$/${\pi}$. Prima tuttavia di esprimermi su un giudizio definitivo, temo mi toccherà rileggere il tutto almeno un altro paio di volte - e con più attenzione. Ti farò sapere!
"DavidHilbert":
[quote="Thomas"]
1) forse conviene identificare le rette in $\mathbb{R}^3$ con le coppie $(phi,theta)$ con
$(phi,theta)in R$/${pi}$ X $R$/${pi} $ (R$/$${pi}$ indica R quozientato modulo $2pi$). Naturalmente gli angoli indicati sono quelli standard per le coordinate polari.
Ho letto la tua bozza già una volta: non è $R$/${\pi}$ x $R$/${\pi}$, ma $R$/${2\pi}$ X $R$/${\pi}$. Prima tuttavia di esprimermi su un giudizio definitivo, temo mi toccherà rileggere il tutto almeno un altro paio di volte - e con più attenzione. Ti farò sapere![/quote]
hai ragione per gli angoli... e dire che li ho modificati 2 volte per evitare quel problema... beh...
ti ringrazio per l'attenzione
... e mi scuso se non ho scritto una sol completa (come se ho ben capito in genere preferisci
)... ma se ragiono così poi scrivo solo su problemi che sò già risolvere e non mi è molto utile...byez
"Thomas":
1) forse conviene identificare le rette in $\mathbb{R}^3$ con le coppie $(phi,theta)$ con
$(phi,theta)in R$/${2 \pi}$ X $R$/${\pi} $. Naturalmente gli angoli indicati sono quelli standard per le coordinate polari.
...ma adesso scopriamo che la prima scelta l'era quasi quella giusta: vediamo di capirne il perché! Se non ben inteso, la tua idea è di associare biunivocamente alla retta $\{\alpha v: alpha \in \mathbb{R}\}$, dove $v$ è un arbitrario versore di $\mathbb{R}^3$ euclideo, una coppia $(\phi, \theta)$ di angoli che rappresenti in qualche modo l'orientamento polare della retta rispetto all'origine del solito riferimento cartesiano ortonormale Oxyz. Il problema è capire quali siano gli intervalli $I_\theta$ e $I_\phi$ spazzati da $\phi$ e $\theta$, rispettivamente. Ora, è ovvio che non può ammettersi $J_\theta = \mathbb{R}$/$2 \pi\mathbb{R}$ e $J_\phi = \mathbb{R}$/$\pi\mathbb{R}$, perché la corrispondenza che si va cercando deve necessariamente identificare i punti simmetrici rispetto al polo O. La scelta più ragionevole sembrerebbe perciò consistere nell'assumere $J_\phi = [0, 2\pi[$ e $J_\theta = [0, \pi/2]$ oppure $J_\phi = [0, \pi]$ e $J_\theta = [0, \pi[$. Senonché resta ancora un problema: quale?
in pratica il problema è che si deve "spazzare" una semisfera... la mia idea iniziale in effetti era la tua seconda opzione...
ma pensando un pò agli estremi degli intervalli (quali includere, quali escludere) mi sono accorto che se vediamo gli angoli come coordintate polari alle coordinate $(phi,0)$ viene sempre associata la medesima retta verticale e analogamente se inludiamo $pi$ alle coordinate il problema si pone per $(phi,pi)$... questo non rende possibile l'omeomorfismo... almeno non rende possibile inlludere la retta verticale in questo...
magari la retta vericale può essere trattata in modo un pò speciale...
uff... certo che a me questo sembrava un particolare e invece...
ma pensando un pò agli estremi degli intervalli (quali includere, quali escludere) mi sono accorto che se vediamo gli angoli come coordintate polari alle coordinate $(phi,0)$ viene sempre associata la medesima retta verticale e analogamente se inludiamo $pi$ alle coordinate il problema si pone per $(phi,pi)$... questo non rende possibile l'omeomorfismo... almeno non rende possibile inlludere la retta verticale in questo...
magari la retta vericale può essere trattata in modo un pò speciale...
uff... certo che a me questo sembrava un particolare e invece...
"Thomas":
uff... certo che a me questo sembrava un particolare e invece...
Che sia un particolare non c'è dubbio, però è di quei particolari di cui non puoi non tener debito conto. Perché in topologia, più che in altri settori della matematica, anche un timido dettaglio brufoloso può avere una rilevanza a dir poco esasperata. Ecco perché è bene abituarsi al formalismo, anche là dove il formalismo può sembrare soltanto una forma estrema di onanismo mentale - e chi ha orecchi per intendere, intenda!
Provo a mettere in ordine la prima parte allora...
Vogliamo esibire un omeomorfismo
$\{\alpha v: alpha \in \mathbb{R}\}\rightarrow [0,pi[$ X $]0,pi[ $ U $ {a}$
Ove ${a}$ è un singolo elemento.
L'omeomorfismo è chiaro: ad ogni retta associo i classici angoli in forma polare (spero siano chiari quali siano i 2 angoli). Per eliminare problemi ai bordi si sono dovuti scegliere quegli intervalli che però non permettono di contare la retta verticale. Quindi si è aggiurnto l'elemento ${a}$ all'insieme, associato alla retta verticale. L'applicazione così dovrebbe essere perlomeno biunivoca.
Dobbiamo ora topologizzare nel modo più naturale possibile il codominio. Per fare questo indichiamo prima di tuttto quali aperti scegliamo.
Innanzitutto:
1) $[0,pi[$ è visto come lo spazio quoziente $\mathbb{R}$/$ \pi\mathbb{R}$ (metrica di partenza euclidea);
2) $]0,pi[ $ è visto come sottospazio di $\mathbb{R}$ (ancora metrica euclidea di partenza);
$A$ è un aperto se:
- ${a}!inA=>$ in questo caso $A$ vive nel prodotto cartesiano. $A$ è aperto se lo è nella topologia prodotto indotta dai punti (1) e (2);
- $ {a}inA=>$ in questo caso $A$ è un elemento del prodotto cartesiano unito un punto. Si consideri $A$ \ ${a}=A'$ . $A$ è aperto $<=>A'$ è aperto nella topologia prodotto e se considerando la proiezione di $A'$ su $]0,pi[$ (ovvero il secondo insieme del prodotto cartesiano), l'aperto ottenuto (le proiezioni sono applicazioni aperte)è derivato nella topologia di sottospazio da un aperto $U$ di $R$ al quale apparteneva $pi$ e/o $0$;
uff... queste definizioni sono state date un pò ad occhio per far tornare certe cose... verificare che hanno senso è un lavoraccio (non è detto che ce l'abbiano)... e non so nemmeno se ne sarei capace...
Il problema è che questo lavoro mi pare indispensabile... come diamine vogliamo legare le rotazioni alle matrici se non per mezzo di angoli?
Vogliamo esibire un omeomorfismo
$\{\alpha v: alpha \in \mathbb{R}\}\rightarrow [0,pi[$ X $]0,pi[ $ U $ {a}$
Ove ${a}$ è un singolo elemento.
L'omeomorfismo è chiaro: ad ogni retta associo i classici angoli in forma polare (spero siano chiari quali siano i 2 angoli). Per eliminare problemi ai bordi si sono dovuti scegliere quegli intervalli che però non permettono di contare la retta verticale. Quindi si è aggiurnto l'elemento ${a}$ all'insieme, associato alla retta verticale. L'applicazione così dovrebbe essere perlomeno biunivoca.
Dobbiamo ora topologizzare nel modo più naturale possibile il codominio. Per fare questo indichiamo prima di tuttto quali aperti scegliamo.
Innanzitutto:
1) $[0,pi[$ è visto come lo spazio quoziente $\mathbb{R}$/$ \pi\mathbb{R}$ (metrica di partenza euclidea);
2) $]0,pi[ $ è visto come sottospazio di $\mathbb{R}$ (ancora metrica euclidea di partenza);
$A$ è un aperto se:
- ${a}!inA=>$ in questo caso $A$ vive nel prodotto cartesiano. $A$ è aperto se lo è nella topologia prodotto indotta dai punti (1) e (2);
- $ {a}inA=>$ in questo caso $A$ è un elemento del prodotto cartesiano unito un punto. Si consideri $A$ \ ${a}=A'$ . $A$ è aperto $<=>A'$ è aperto nella topologia prodotto e se considerando la proiezione di $A'$ su $]0,pi[$ (ovvero il secondo insieme del prodotto cartesiano), l'aperto ottenuto (le proiezioni sono applicazioni aperte)è derivato nella topologia di sottospazio da un aperto $U$ di $R$ al quale apparteneva $pi$ e/o $0$;
uff... queste definizioni sono state date un pò ad occhio per far tornare certe cose... verificare che hanno senso è un lavoraccio (non è detto che ce l'abbiano)... e non so nemmeno se ne sarei capace...
Il problema è che questo lavoro mi pare indispensabile... come diamine vogliamo legare le rotazioni alle matrici se non per mezzo di angoli?
Nel caso DH ti stessi chiedendo: "perchè diamine non và avanti?".... beh per ora mi fermo quà.... forse tra qualche mese ne saprò un pò di più e potrò prendere in mano con più sicurezza questo problema
ciao
ciao
"Thomas":
Nel caso DH ti stessi chiedendo: "perchè diamine non và avanti?"
In realtà non mi stavo chiedendo un bel niente! Semplicemente sono stato fuori. Rivedrò al più presto quel che hai scritto, per il momento ciao...
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