Mappe proprie

[Sk_Anonymous]

Se $S_1$ ed $S_2$ sono spazi topologici arbitrari ed $f: S_1 \rightarrow S_2$ è una funzione, si dice che $f$ è propria se la retroimmagine di ogni compatto di $S_2$ è compatta in $S_1$. Mostrare che, se $S_1$ è compatto, $S_2$ è Hausdorff ed $f$ è continua, allora $f$ è una mappa propria.

[Thomas16]

Lemma1: $X$ compatto.
$C$ in $X$ chiuso $=>C$ è compatto.

Lemma2: $X$ Hausdorff.
$C$ in $X$ compatto $=>C$ è chiuso.

problema:

Prendo $C$ compatto in $S_2$.

$C$ compatto in Hausdorff => $C$ chiuso ------ Lemma2

$f$ continua => $f^(-1)(C)$ è chiuso

$S_1$ compatto => $f^(-1)(C)$ è compatto ------ Lemma 1

fine.

is it right? mi ci stavo perdendo con i ricoprimenti...

[Sk_Anonymous]

Yes, that's right.