AlgLin: se AB = BA, allora (AB)^q = A^q B^q
Per i neofiti dell'algebra lineare: "siano $K$ un corpo, $n \in \mathbb{Z}^+$ e $A, B \in M_n(K)$ matrici quadrate di ordine $n$ a elementi in $K$. Se $AB = BA$, provare che $(AB)^q = A^q B^q$, per ogni $q \in \mathbb{N}$."
Risposte
Non mi va di mettermi a fare i conti, ma credo che tutto stia nel fatto che dato che le matrici commutano allora si puo' usare la formula del binomio di Newton (che converge per il teo di convergenza in norma)
Platone
Platone
...i filosofi: vogliamo fatti, non parole!
"Platone":
si puo' usare la formula del binomio di Newton (che converge per il teo di convergenza in norma)
la formula del binomio di Newton è una somma finita, non è richiesta nessuna convergenza.
Già che sono quà e che anche questo non è difficile:
si procede per induzione...
$q=1$ vero
$q-1->q$
Th:
$(AB)^q=A^qB^q$
dim:
$(AB)^(q-1)AB=$
$A^(q-1)B^(q-1)AB=A^(q-1)B^(q-2)AB^2=$
$=A^(q-1)B^(q-3)AB^3=...$
$...=A^(q)B^q$
(bisogna scalare la A in pratica)
Alternativamente con il teorema di diagonalizzazione simultanea si potevano scrivere le funzioni rappresentate da quelle matrici in forma diagonale e lì la tesi sarebbe stata una conseguenza della proprietà commutativa del prodotto in K.
si procede per induzione...
$q=1$ vero
$q-1->q$
Th:
$(AB)^q=A^qB^q$
dim:
$(AB)^(q-1)AB=$
$A^(q-1)B^(q-1)AB=A^(q-1)B^(q-2)AB^2=$
$=A^(q-1)B^(q-3)AB^3=...$
$...=A^(q)B^q$
(bisogna scalare la A in pratica)
Alternativamente con il teorema di diagonalizzazione simultanea si potevano scrivere le funzioni rappresentate da quelle matrici in forma diagonale e lì la tesi sarebbe stata una conseguenza della proprietà commutativa del prodotto in K.
Yep, induction: you know, the easy way! Ma giusto per fare il pedante, siccome nelle mie notazioni $\mathbb{N}$ include lo zero, ci aggiungo pure che $(AB)^0 := I_n = I_n I_n =: A^0 B^0$, dove $I_n$ è l'unità di $K^{n,n}$! Gh...
"Thomas":
[...] Alternativamente con il teorema di diagonalizzazione simultanea si potevano scrivere le funzioni rappresentate da quelle matrici in forma diagonale e lì la tesi sarebbe stata una conseguenza della proprietà commutativa del prodotto in K.
...soltanto che, nelle ipotesi del problema, $K$ è un corpo, non un campo. Vabbè... Sai che ti dico? Teniamoci stretta la via induttiva, jamm'...
non so cosa sia un corpo e quindi gli ho dato le proprietà più ovvie ma ti credo sulla parola... ciao!
"Thomas":
non so cosa sia un corpo e quindi gli ho dato le proprietà più ovvie ma ti credo sulla parola... ciao!
Un corpo?! Un anello in cui ogni elemento non nullo è invertibile a prodotto.
Un campo (o corpo) è un anello commutativo con identità in cui ogni elemento non nullo è invertibile. Quindi un anello R commutativo con identità è un campo se e solo se $U(R)=R-{0}$. Infatti $0_R$ non è mai invertibile in nessun anello R con identità $1_R$ (perchè se $0_R$ fosse invertibile e $a in R$ fosse il suo inverso allora $0_R=0_R*a=1_R$,assurdo).
Ciao!
Ciao!
"leonardo":
Un campo (o corpo) è un anello commutativo con identità in cui ogni elemento non nullo è invertibile.
Mmmh... Perciò un anello non abeliano in cui ogni elemento non nullo è invertibile a prodotto tu come lo chiami?! Presso di me, una struttura algebrica di questa specie è giusto un corpo, e un campo non è che un corpo commutativo.
Un corpo è un anello. Un corpo commutativo è un campo.
Sul fatto che un corpo sia un anello non ci piove. Che poi un campo sia un corpo commutativo tira a mio favore. Solo che questo contraddice la tua affermazione precedente:
Uhm?!
"leonardo":
Un campo (o corpo) è un anello commutativo con identità in cui ogni elemento non nullo è invertibile.
Uhm?!
Chiamarlo campo o corpo commutativo è la stessa cosa. Indica la stessa struttura algebrica. Non vorrei creare e crearmi confusioni!
"leonardo":
Chiamarlo campo o corpo commutativo è la stessa cosa. Indica la stessa struttura algebrica. Non vorrei creare e crearmi confusioni!
Ti ripeto che su questo punto siamo d'accordo. E' solo che dal primo dei tuoi interventi sembrava quasi che campo e corpo fossero sinonimi. Vabbè, penso che sia ormai tutto chiarito, a questo punto...
"ficus2002":
[quote="Platone"]si puo' usare la formula del binomio di Newton (che converge per il teo di convergenza in norma)
la formula del binomio di Newton è una somma finita, non è richiesta nessuna convergenza.[/quote]
Si, hai ragione. Il fatto è che mi sono ritrovato in passato a risolvere problemi simili con matrici che commutano per calcolare l'esponenziale di matrici, e li serviva la oncergenza della serie.
Platone
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