AlgLin: se A > 0 e |B| \ne 0, allora B^t A B > 0
Essendo $n \in \mathbb{Z}^+$ e $A, B \in M_n(\mathbb{R})$ tali che $A > 0$ e $|B| \ne 0$, mostrare che $B^t A B > 0$.
Risposte
Quando una matrice si dice $>0$??? Il modulo che indichi sarebbe il determinante? Che convenzione segui per indicare la trasposizione?
"Thomas":
Quando una matrice si dice $>0$???
Quando è definita positiva.
"Thomas":
Il modulo che indichi sarebbe il determinante?
Sì.
"Thomas":
Che convenzione segui per indicare la trasposizione?
Questa non l'ho capita!
Later...
Adesso forse sì (thanks to ^Gourry^): moi indica la trasposta ponendo una "t" ad apice destro della matrice.
Ehm... ancora non ci sono per la prima domanda...
Quando una matrice è definita positiva?
Credo sia solo questione di notazioni e convenzioni, cmq... un pò di algebra la sò... (giusto per dirti che la tua risposta mi sarà utile)
Quando una matrice è definita positiva?
Credo sia solo questione di notazioni e convenzioni, cmq... un pò di algebra la sò... (giusto per dirti che la tua risposta mi sarà utile)
Credo che si parli di matrici hermitiane...
Matrici Hermitiane? Ma le matrici del problem hanno coefficienti reali... o no?
Una matrice $A \in \mathbb{R}^{n,n}$, con $n \in \mathbb{Z}^+$, si dice definita positiva (risp., negativa) se $x^t A x > 0$ (risp., $x^t A x < 0$), per ogni $x \in \mathbb{R}^n\setminus\{0\}$. Si dice semidefinita positiva (risp., negativa) se $x^t A x \ge 0$ (risp., $x^t A x \le 0$), per ogni $x \in \mathbb{R}^n$, ed esiste $x_0 \in \mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ tale che $x_0^t A x_0 = 0$.
Non ti sarai mica dimenticato di dire che quella matrice rappresenta un prodotto scalare sulla base euclidea? E che quindi A è simmetrica?
Oppure rappresenta una forma bilineare non simmetrica sempre in base standard? [parti che non conosco]
ok... se la tua risposta sarà negativa, vuol dire che le mie conoscenze non bastano...
ps: chiedo queste cose perchè quanto dici mi fà venire in mente i prodotti scalari definiti positivi e cose di questo tipo...
Oppure rappresenta una forma bilineare non simmetrica sempre in base standard? [parti che non conosco]
ok... se la tua risposta sarà negativa, vuol dire che le mie conoscenze non bastano...
ps: chiedo queste cose perchè quanto dici mi fà venire in mente i prodotti scalari definiti positivi e cose di questo tipo...
"Thomas":
Non ti sarai mica dimenticato di dire che quella matrice rappresenta un prodotto scalare sulla base euclidea?
Questo io lo chiamo onanismo: dimentica i tuoi prodotti scalari e le tue basi, il problema è così banale da potersi quasi dire ridicolo!
stò solo cercando di decifrare il tuo problema... le tue notazioni mi paiono decisamente fuori dal comune... io non mi metto neanche a tentare un problema se non capisco il testo...
"HiTLeuLeR":
Essendo $n \in \mathbb{Z}^+$ e $A, B \in M_n(\mathbb{R})$ tali che $A > 0$ e $|B| \ne 0$, mostrare che $B^t A B > 0$.
A parole: $n$ è un intero positivo; $A$ e $B$ sono matrici quadrate reali di ordine $n$; $A$ è definita positiva (ho precisato poco sopra cosa questo voglia dire); $| \cdot |$ indica il determinante; $B^t A B$ è il prodotto (righe per colonne) della trasposta di $B$ per $AB$.
Avendo finalmente capito il problema (o meglio le tue notazioni):
Considero nel seguito B come matrice di un endomorfismo di $R^n$.
Preso $x \in \mathbb{R}^n\setminus\{0\}$, si deve verificare (uso le tue notazioni):
$x^t B^t A B x> 0$
$(Bx)^tA(Bx)>0$
$|B|!=0<->Ker(B)={0}$ da cui segue $Bx!=0$ e le ipotesi su A portano alla tesi...
Considero nel seguito B come matrice di un endomorfismo di $R^n$.
Preso $x \in \mathbb{R}^n\setminus\{0\}$, si deve verificare (uso le tue notazioni):
$x^t B^t A B x> 0$
$(Bx)^tA(Bx)>0$
$|B|!=0<->Ker(B)={0}$ da cui segue $Bx!=0$ e le ipotesi su A portano alla tesi...
Già. Lo dicevo io ch'era banale! 
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