Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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questa domanda mi è sorta mentre stavo studiando il th della divergenza.
dato un insieme nel piano che per semplicità lo possiamo supporre connesso per archi, come faccio a dimostrare che esso si può scrivere come unione di insiemi convessi?
giusto un accenno anche perchè ho qualche difficoltà a impostare...
grazie mille.
Non riesco a fare questo esercizio:
Sia $RR_3 [x]$ lo spazio dei polinomi di grado$<=3$ e sia $F : RR_3 [x] -> RR_3 [x]$ l'applicazioe lineare cosi definita:
$F(ax^3+bx^2+cx+d)=3ax^2+2bx+c$
(a)Scrivere la matrice associata a $F$ nella base canonica
(b)Determinare il nucleo e l'immagine di $F$ e una loro base
(c)Dire , giustificando larisposta se $F$ è diagonalizzabile
Datemi una dritta per favore
Ciao a tutti.
Mi potete direncome si risolve questo esercizio per favore?
non riesco proprio a farlo.
In R[x]
ragazzi ho un problema con lo svolgimento di questo esercizio
1) Scrivere e studiare il fascio di coniche passanti per A(-1,1) B(0,1/2) C(-1,0) D(0,1).
2) Sia P la parabola del fascio.Scrivere e studiare il fascio di quadriche contenenti P ed aventi in Zoo(punto improprio) il piano tangente x-1=0.
il primo punto l'ho svolto
non so svolgere il secondo punto,in particolare non so come devo imporre il punto improprio
help me please!!!!
Premettendo che tutti gli appelli di algebra lineare danno gli stessi esercizi (Applicazioni lineari, Sistema parametrico, Autovalori, Geometria in $RR^3$), stavolta mi è capitata una domanda sulle applicazioni lineari che non riesco a capire ...
Sia $T : RR^3 -> RR^4$
$T(x_1, x_2, x_3) = (x_1 – 2x_3, x_2 + 4x_3, 2x_1 + 3x_2 + 8x_3, x_1 + 2x_2 + 6x_3)$
Determinare:
a) la matrice A associata a T rispetto alle basi canoniche di $RR^3$ e $RR^4$
OK la base canonica di $RR^3$, ma $RR^4$?
Cioè, ...
Sappiamo che vale l'implicazione secondo cui l'insieme delle combinazioni lineari di $n$ vettori è un sottospazio vettoriale generato dagli $n$ vettori. Quindi vale l'implicazione secondo cui:
$I$ = insieme delle combinazioni lineari di $n$ vettori di uno spazio $V$ $=>$ $I$ sottospazio di $V$.
Vale l'implicazione inversa? Cioè, che ogni sottospazio possa essere "modellizzato" ...
Leggo testualmente dal "Mencuccini-Silvestrini", per quanto riguarda il discorso sui differenziali:
"$f(x) - f(x_0) ~= f' (x_0) (x - x_0)$,
onde $\Delta f$ è linearizzato da $f' (x_0)(x - x_0)$,
ovvero $f'(x) ~= f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0)$ "
Che significa "linearizzato"? Perchè si usa questo termine?
Nel caso in cui la dimensione del dominio è superiore a quella del codominio.
Negli altri due casi (quando la dimensione del dominio è minore o uguale a quella del codominio) si ragiona sulle immagini della base canonica. Nell'altro caso, io non so come ragionare.
Non so se si può usare lo stesso criterio.
In ogni caso, posto l'esercizio, che è sempre meglio.
L'applicazione è la seguente:
$T : RR^3 in RR^2$, definita univocamente da $T(1, 1, 1)= (-1, 2), T(0, 1, 1)=(0, 4), T(1, 1, 0)=(2, 1)$ -perchè i vettori di cui ...
Scrivo il testo dell'esercizio, alcune parti credo di averle risolte (chiedo il vostro parere), altre non so come farle...
Si considerino i seguenti sottospazi di $RR^4$:
$V={(x,y,z,t) in RR^4 | x+2y-z+3t=0}$ e $W=<(1,0,2,1),(1,2,0,7),(0,1,-1,3)>$
ho trovato le basi: base $W={(1,2,0,7)(1,0,2,1)}$, base $V={(1,0,1,0),(0,1,1,0),(0,0,3,1)}$
a)Determinare una base e la dimensione di $VnnW$ e di $V+W$
a me è venuto: base $VnnW={(6,-1,13,3)}$
b)Trovare un sottospazio $Z$ di $RR^4$ tale che ...
[size=150]C[/size]iao a tutti, posto qui i miei dubbi, sperando che qualcuno mi risponda...
Sia (A,B) un sistema, con A matrice dei coefficienti e B colonna dei termini noti:
- det(A) = 0 se e solo se le colonne della matrice A sono linearmente dipendenti
- Il sistema ha soluzione se e solo se B è combinazione lineare delle colonne di A, ovvero che la dim (A) = dim (B), ovvero che il rg (A) = rg (A,B)
- Le soluzioni del sistema omogeneo, sono il sottospazio di Ker f, ovvero del nucleo ...
Tutte le volte che ho sentito parlare di omotopia, ho anche trovato delle ipotesi aggiuntive, mi chiedo se siano necessarie. Supponiamo di avere due cammini $gamma, psi$ in un aperto $Omega$ di $RR^n$ (o di $CC$). Se i due cammini sono chiusi (circuiti) allora diremo che sono $Omega$-omotopi se esiste una trasformazione continua $H:[0,1]times[0,1]\toOmega$ tale che $H(*, 0)=gamma(*), H(*, 1)=psi(*)$. E non ci sono problemi.
Se invece i due cammini non sono chiusi, ho ...
ciao vi posto un paio di esercizi che non capisco come si fanno---
1) Dimostrare che il K-spazio vettoriale K[X] di tutti i polinomi con coefficienti in K non è finitamente generato.
2) I tre polinomi
1+x+2x^2
2x+x^3
1+2x^2-x^3
sono linearmente dipendenti o indipendenti in R[X]? (e in K[X], per altri campi K?)
scusate ma ho un sacco di problemi sui polinomi..non capisco nemmeno perche formano uno spazio vettoriale!!
mi scrivete i passaggi con cui ci siete ...
Salve a tutti, nella risoluzione degli esercizi, mi è venuto un piccolo dubbio che sinceramente fino a poco fa non mi ponevo..
Se mi è data la trasformazione che va da $RR^3$ $\to$ $RR^4$ ed è:
$T$ =(x-2z, y+4z, 2x+3y+8z, x+2y+6z)
calcolando la matrice associata $A$ ottengo:
$((1,0,-2),(0,1,4),(2,3,8),(1,2,6))$
facendo la riduzione, trovando i vettori indipendenti e facendo poi di essi lo span, trovo che l'Im(T) ha dimensione 2
ed è in forma ...
Ciao!
Qualcuno sa risolvermi o semplicemente spiegarmi le fasi di risoluzione di questo problemino?
Non riesco a mettere insieme tutte le condizioni (perpendicolarità e angolo acuto fra C e D)
Trovare, se esiste, il vettore D di modulo 3,
perpendicolare ai vettori A(3,2,0) e B(0,2,1)
e che forma un angolo acuto con il vettore C(0,3,0).
Grazie in anticipo a chi risponderà
ragazzi, come faccio a capire e a determinare quando un sottospaziono è invariante?[/chessgame]
ho un dubbio: ma per dimostrare che ax+ by+cz+d con coefficenti non tutti nulli raprpesenta un piano nello spazio basta dimoistrare che tutte le terne che soddisfano l'eqauzione sono punti del piano??
Negli appunti della mia professoressa di algebra c'è un esercizio svolto che non mi convince.
Si dà da studiare una funzione matriciale, e dopo aver calcolato il nucleo $ker f_A:{(0,0,0)}$ che corrisponde solo al vettore nullo, si applica la relazione delle fuznioni lineare per calcolare la dimensione dell'immagine di $f_A$:
"Poiché $dim ker f_A+dim Im f_A=3$, risulta che $dim Im f_A=3$ e quindi, dato che $Im f_A\sube \mathbb{R}^3\Rightarrow Im f_A=\mathbb{R}^3$ la funzione è suriettiva.
Il punto è: se $dim Im f_A=3$, ...
Salve non so come risolvere questi quattro esercizi...
1. Dimostrare e risolvere al variare del parametro reale K il seguente sistema di equazioni lineari:
x+y+z=2
x+ky+z=0
x+y+kz=0
2. Si consideri nello spazio vettoriale reale R4 il sottospazio
H=[(1,0,0,1),(0,1,0,1)]
Generato dai vettori indipendenti (1,0,0,1)(0,1,0,1). Sia Lk il seguente sottospazio:
Lk=[(0,0,1,0),(0,0,0,1-k)] dove k è un parametro reale, si stabilisca:
a) dimLk al ...
salve a tutti.. Come posso calcolare la base di un sottospazio?
Ho chiesto ad amici ed ho rlevato due correnti di pensiero diverse:
- la dimensione equivale al numero di vettori linearmente indipendenti (ovvero al rango della matrice associata)
- la dimensione equivale al numero dei parametri utilizzati (cioè alla dimensione dello spazio ambiente meno il rango, oppure al grado dell'infinito)..
qual è quella esatta??
grazieeee
ciaps[/chesspos]
Ho un esercizio d'esame di algebra che chiede una matrice ortogonale che abbia una riga coincidente con il vettore $\vec{v_1}=(2,1,-1)$.
Una matrice è ortogonale quando $A\cdot A^t=I$, quindi dove o metto metto, il vettore $\vec{v_1}$ si troverà sempre un prodotto scalare con sé stesso. Purtroppo però $\vec{v_1}\cdot\vec{v_1}=6$, che non è né $1$ né $0$.
Come posso fare?
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