Equazione cartesiana del piano
ho un dubbio: ma per dimostrare che ax+ by+cz+d con coefficenti non tutti nulli raprpesenta un piano nello spazio basta dimoistrare che tutte le terne che soddisfano l'eqauzione sono punti del piano??
Risposte
Uhm.... mi pare che così ti mangi la coda da sola... 
Il punto è che un piano è un sottospazio di dimensione $2$, quindi quello che devi far vedere è che dall'equazione $ax+by+cz+d=0$ si possono ricavare due vettori linearmente indipendenti che lo generano.
Il punto è che un piano è un sottospazio di dimensione $2$, quindi quello che devi far vedere è che dall'equazione $ax+by+cz+d=0$ si possono ricavare due vettori linearmente indipendenti che lo generano.
il problemna è che il professore vuole questo procedimento..
Il mio o il tuo?
il mio..
Ti faccio vedere che i modi sono equivalenti. Devo far vedere che un punto appartiene al piano, allora, detto $P:=(x_0,y_0,z_0)$:
$a*x_0+b*y_0+c*z_0+d=0$
osserva che:
$a*x_0 = -b*y_0-c*z_0-d$
dunque il generico punto del piano ha coordinate:
$P=(-b/a*y_0-c/a*z_0 - d/a,y_0,z_0)$
ovvero il vettore generico che individua il piano è:
$\vecOP = ((-b/a),(1),(0))y_0 + ((-c/a),(0),(1))z_0 + ((-d/a),(0),(0))$
Osserva che $((-b/a),(1),(0)),((-c/a),(0),(1))$ sono una base del sottospazio individuato dal piano.
Mi sono avvicinato?
$a*x_0+b*y_0+c*z_0+d=0$
osserva che:
$a*x_0 = -b*y_0-c*z_0-d$
dunque il generico punto del piano ha coordinate:
$P=(-b/a*y_0-c/a*z_0 - d/a,y_0,z_0)$
ovvero il vettore generico che individua il piano è:
$\vecOP = ((-b/a),(1),(0))y_0 + ((-c/a),(0),(1))z_0 + ((-d/a),(0),(0))$
Osserva che $((-b/a),(1),(0)),((-c/a),(0),(1))$ sono una base del sottospazio individuato dal piano.
Mi sono avvicinato?
non posso arrivare alla soluzione senza utilizzo di vettori?
Ti fermi a dove io specifico $P$
scusa non voglio fare la figura della stupida ma una voklta determinato il punto come posso dire che appartiene al piano? dovrei dare per scontato che ax+by+cz+d =0 è equazione del piano ..ma questo è la mia tesi!
scusa non voglio fare la figura della stupida ma una voklta determinato il punto come posso dire che appartiene al piano? dovrei dare per scontato che ax+by+cz+d =0 è equazione del piano ..ma questo è la mia tesi!
Il procedimento dovrebbe essere analogo a quello di Lord K, ovvero
$ax +by +cz - d =0$. Noi vogliamo mostrare che questa equazione, in $RR^3$ rappresenta un piano.
Dunque, se la guardiamo dal punto di vista di una dimensione, ad esempio $z$, la suddetta equazione dovrà essere l' equazione di una retta in $RR^2$!
Dunque $ax + by -d = -cz => -a/cx - b/cy + d/c = z$. Ponendo $z = 0$ abbiamo, infatti, l' equazione di una retta: $-a/cx - b/cy + d/c = 0$.
Poi andrebbe dimostrato che tale equazione sia EFFETTIVAMENTE una retta, ma credo che tu lo sappia fare, dunque possiamo dire QED.
$ax +by +cz - d =0$. Noi vogliamo mostrare che questa equazione, in $RR^3$ rappresenta un piano.
Dunque, se la guardiamo dal punto di vista di una dimensione, ad esempio $z$, la suddetta equazione dovrà essere l' equazione di una retta in $RR^2$!
Dunque $ax + by -d = -cz => -a/cx - b/cy + d/c = z$. Ponendo $z = 0$ abbiamo, infatti, l' equazione di una retta: $-a/cx - b/cy + d/c = 0$.
Poi andrebbe dimostrato che tale equazione sia EFFETTIVAMENTE una retta, ma credo che tu lo sappia fare, dunque possiamo dire QED.
il mio professore lo dimostra così: da una punto che per ipotesi appartiene all'equazione il punto è P(-d/a,0,0) .Poi dice il piano per quel PUNTO e ortogonale a vettore di componenti a,b,c ha proprio equazione ax+by +cz+d=0.. ma a me non sembra rigoroso perchè la mia tesi deve essere quella che lui usa per ipotesi(e cioè l'equazione rappresenta un piano) ditemi dove sbaglio ..
"monetaria":
il mio professore lo dimostra così: da una punto che per ipotesi appartiene all'equazione il punto è P(-d/a,0,0) .Poi dice il piano per quel PUNTO e ortogonale a vettore di componenti a,b,c ha proprio equazione ax+by +cz+d=0.. ma a me non sembra rigoroso perchè la mia tesi deve essere quella che lui usa per ipotesi(e cioè l'equazione rappresenta un piano) ditemi dove sbaglio ..
Con questa frase il tuo professore ha SEMPLICEMENTE detto che il piano passante per $P(-d/a,0,0)$ è ortogonale al vettore $\vec v = ((a),(b),(c))$.
Insomma non ha dimostrato nulla. L' equazione $ax + by + cz + d = 0$ poteva anche essere una patata, a questo punto.
appunto ..
A questo punto gli porti la dimostrazione che ti abbiamo dato noi , ed è fatta ...
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