Ridurre un insieme ad unione di insiemi convessi

[fu^2]

questa domanda mi è sorta mentre stavo studiando il th della divergenza.

dato un insieme nel piano che per semplicità lo possiamo supporre connesso per archi, come faccio a dimostrare che esso si può scrivere come unione di insiemi convessi?

giusto un accenno anche perchè ho qualche difficoltà a impostare...

grazie mille.

[Luc@s]

Ma la connessione per archi non si basava su un arco che doveva esser contenuto interamente nella figura?
A me sembra che un arco sia un particolare segmento e da qui partirei e poi mi sembra di ricordare che l'unione di figure convesse può essere convessa(e qui ti riallacci a quanto detto sopra per capire se sia il caso)
Da queste basi partirei.
Spero di esserti stato utile e di non aver detto troppe baggianate

P.s: magari ti torna utile anche il concetto di Insieme stellato

[fu^2]

l'ipotesi che sia connesso per archi è perchè voglio avere un insieme che sia una macchia con dei buchi al più. (connesso per archi=ogni due punti della figura sono collegati da un arco nella figura).

un insieme si dice convesso se per ogni coppia di punti esiste una retta contenuta nell'insieme che li congiunge, essere stellato è troppo debole secondo me, penso che usare solo l'ipotesi stellato sia falso.

che l'unione di convessi non è convessa è quel che mi serve. In generale non sarà mai convesso un insieme l'essenziale è che la loro intersezione è convessa e questo è vero


ora ci penso su un pò, grazie dei consigli

[Luc@s]

"fu^2":
che l'unione di convessi non è convessa è quel che mi serve. In generale non sarà mai convesso un insieme l'essenziale è che la loro intersezione è convessa e questo è vero


ora ci penso su un pò, grazie dei consigli

Mmm... hai ragione in effetti anche se non è sempre non convessa l'unione.
Nulla, spero ti siano serviti i miei 'pensieri'.
Fammi sapere comunque

[apatriarca]

Sia $X$ il tuo sottoinsieme del piano connesso per archi e sia $C_P$ il più grande sottoinsieme di $X$ convesso contenente il punto $P \in X$. Allora $C_P$ è non vuoto e convesso per ogni $P$ (contiene almeno P) e la loro unione è uguale al tuo insieme.

[fu^2]

era più semplice di quanto si può pensare ora ti rilancio una domanda meno ovvia... qual'è l'ipotesi più lassa affinchè posso decomporre un insieme in sottoinsieme convessi?

[apatriarca]

Nella dimostrazione ho utilizzato soltanto il fatto che {P} è un convesso (e quindi esiste sempre almeno un insieme convesso che contiene il punto) e che un insieme è l'unione dei suoi punti. Quindi direi che qualsiasi sottoinsieme del piano (e non solo) è unione di insiemi convessi.

[dissonance]

Beh però così si sta banalizzando un po' troppo secondo me. E' chiaro che, se ammettiamo i singoletti ${P}$ come insiemi convessi, qualsiasi cosa è unione di insiemi convessi: $X=uu_{P\inX}{P}$. Secondo me bisogna aggiungere qualche richiesta.
Sarebbe interessante trovare condizioni affinché un insieme si possa decomporre in un numero finito di insiemi convessi. E su questo non so proprio cosa dire però...

[Fioravante Patrone1]

quoto dissonance


@patriarca
nel penultimo post dicevi:
sia $C_P$ il più grande sottoinsieme di X convesso contenente il punto P∈X.
non mi pare che tu possa garantire l'esistenza del più grande sottoinsieme etc.

Comunque se si parla di unione finita (vedasi dissonance) non ci si riesce.
Basta prendere una striscetta abbastanza sottile attorno al grafico di sen x.


Last but not least: fu^2, ma perché ti serve 'sta roba?

[apatriarca]

Forse hai ragione, ma comunque basta prendere {P} che è convesso e quindi il teorema è dimostrato. L'idea era principalmente quella di mostrare quanto il problema fosse semplice e inutile e richiedesse ulteriori vincoli (come l'essere un insieme finito).