Aiutatemi a risolvere questi quattro esercizi
Salve non so come risolvere questi quattro esercizi...
1. Dimostrare e risolvere al variare del parametro reale K il seguente sistema di equazioni lineari:
x+y+z=2
x+ky+z=0
x+y+kz=0
2. Si consideri nello spazio vettoriale reale R4 il sottospazio
H=[(1,0,0,1),(0,1,0,1)]
Generato dai vettori indipendenti (1,0,0,1)(0,1,0,1). Sia Lk il seguente sottospazio:
Lk=[(0,0,1,0),(0,0,0,1-k)] dove k è un parametro reale, si stabilisca:
a) dimLk al variare di k;
b) dim(Lk+H) al variare di k;
c) se esistono dei valori di k per cui Lk è supplementare di H;
d) se esistono dei valori di k per cui Lk è lo spazio ortogonale di H.
Infine dare una definizione di complemento ortogonale di un sottospazio di uno spazio vettoriale munito di prodotto scalare.
3. Calcolare l equazione della sfera tangente al piano a:x+y+z-3=0 nel punto P (1,1,1) e avente il centro sul piano b: 3x-y-z=0
4. Fissato nello spazio un riferimento monocentrico ortogonale si consideri la retta S rappresentata dal sistema:
x+y=0
2y+2z=0
il piano di equazione 2x+y-z+2=0 e il punto A (1,1,1). Si rappresenti:
a) la retta per A parallela al piano e incidente ad S;
b) la retta per A incidente o ortogonale ad S;
c) piano per A ortogonale ad S.
GRAZIE IN ANTICIPO, E SE è POSSIBILE SCRIVETEMI QUANTE PIù COSE IN MODO DA CAPIRE MEGLIO...SE POTETE METTERMI QUALCHE REGOLA è ANCORA MEGLIO...
1. Dimostrare e risolvere al variare del parametro reale K il seguente sistema di equazioni lineari:
x+y+z=2
x+ky+z=0
x+y+kz=0
2. Si consideri nello spazio vettoriale reale R4 il sottospazio
H=[(1,0,0,1),(0,1,0,1)]
Generato dai vettori indipendenti (1,0,0,1)(0,1,0,1). Sia Lk il seguente sottospazio:
Lk=[(0,0,1,0),(0,0,0,1-k)] dove k è un parametro reale, si stabilisca:
a) dimLk al variare di k;
b) dim(Lk+H) al variare di k;
c) se esistono dei valori di k per cui Lk è supplementare di H;
d) se esistono dei valori di k per cui Lk è lo spazio ortogonale di H.
Infine dare una definizione di complemento ortogonale di un sottospazio di uno spazio vettoriale munito di prodotto scalare.
3. Calcolare l equazione della sfera tangente al piano a:x+y+z-3=0 nel punto P (1,1,1) e avente il centro sul piano b: 3x-y-z=0
4. Fissato nello spazio un riferimento monocentrico ortogonale si consideri la retta S rappresentata dal sistema:
x+y=0
2y+2z=0
il piano di equazione 2x+y-z+2=0 e il punto A (1,1,1). Si rappresenti:
a) la retta per A parallela al piano e incidente ad S;
b) la retta per A incidente o ortogonale ad S;
c) piano per A ortogonale ad S.
GRAZIE IN ANTICIPO, E SE è POSSIBILE SCRIVETEMI QUANTE PIù COSE IN MODO DA CAPIRE MEGLIO...SE POTETE METTERMI QUALCHE REGOLA è ANCORA MEGLIO...
Risposte
"gugudesigner":
Salve non so come risolvere questi quattro esercizi...
1. Dimostrare e risolvere al variare del parametro reale K il seguente sistema di equazioni lineari:
x+y+z=2
x+ky+z=0
x+y+kz=0
E' un sistema 3x3.
Prova a calcolare il det della matrice dei coefficienti.
"gugudesigner":
3. Calcolare l equazione della sfera tangente al piano a: x+y+z-3=0 nel punto P (1,1,1) e avente il centro sul piano b: 3x-y-z=0
Prova a vedere dove deve stare il centro della sfera:
deve appartenere alla retta passante per $P$ e ortogonale al piano $x+y+z-3=0$.
Inoltre, sai che il centro della sfera deve stare sul piano $3x-y-z=0$.
Concludi pure da solo.
il sistema presentato presenta una sola soluzone se le equazioni sono indipendenti (cosa vera se $k<>1$)
se $k =1$ allora bbiamo una eqazione e tre variabili allora le soluzioni sono ... le altre soluzioni del sistema si possono trovare mediante lo studio della matrice asssociata oppure per differenza tra la prima equazione e la seconda e si trova y mentre facendo la differenza tra la prima equazione e la terza e si trova z ed infine sostituendo la y e la z trovate nella prima equazione si trova la x. Discutendo il risultato al variare di K si trova che ...
Il problema della sfera tangente si può ricondurre a scrivere l'equazione della retta passante per il punto voluto p(1,1,1) e perpendicolare al piano tangente. Ottenuta questa, si fa un sistema con il piano contenete il centro della sfera e questo consente di trovar loe coordinate del centro della sfera. la dstanza dei due punti mi da il raggio della sfera e a questo punto non rimane che scrivere l'equazione della sfera $(x-xc)^2+(y-yc)^2+(z-zc)^2= r^2$ e il gioco è fatto!
Buon lavoro
se $k =1$ allora bbiamo una eqazione e tre variabili allora le soluzioni sono ... le altre soluzioni del sistema si possono trovare mediante lo studio della matrice asssociata oppure per differenza tra la prima equazione e la seconda e si trova y mentre facendo la differenza tra la prima equazione e la terza e si trova z ed infine sostituendo la y e la z trovate nella prima equazione si trova la x. Discutendo il risultato al variare di K si trova che ...
Il problema della sfera tangente si può ricondurre a scrivere l'equazione della retta passante per il punto voluto p(1,1,1) e perpendicolare al piano tangente. Ottenuta questa, si fa un sistema con il piano contenete il centro della sfera e questo consente di trovar loe coordinate del centro della sfera. la dstanza dei due punti mi da il raggio della sfera e a questo punto non rimane che scrivere l'equazione della sfera $(x-xc)^2+(y-yc)^2+(z-zc)^2= r^2$ e il gioco è fatto!
Buon lavoro
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