Base dell'immagine di un'applicazione lineare.
Nel caso in cui la dimensione del dominio è superiore a quella del codominio.
Negli altri due casi (quando la dimensione del dominio è minore o uguale a quella del codominio) si ragiona sulle immagini della base canonica. Nell'altro caso, io non so come ragionare.
Non so se si può usare lo stesso criterio.
In ogni caso, posto l'esercizio, che è sempre meglio.
L'applicazione è la seguente:
$T : RR^3 in RR^2$, definita univocamente da $T(1, 1, 1)= (-1, 2), T(0, 1, 1)=(0, 4), T(1, 1, 0)=(2, 1)$ -perchè i vettori di cui conosciamo l'immagine sono una base di $RR^3$-
L'esercizio mi chiede appunto di trovare una base di $Im(T)$ e di $N(T)$.
Negli altri due casi (quando la dimensione del dominio è minore o uguale a quella del codominio) si ragiona sulle immagini della base canonica. Nell'altro caso, io non so come ragionare.
Non so se si può usare lo stesso criterio.
In ogni caso, posto l'esercizio, che è sempre meglio.
L'applicazione è la seguente:
$T : RR^3 in RR^2$, definita univocamente da $T(1, 1, 1)= (-1, 2), T(0, 1, 1)=(0, 4), T(1, 1, 0)=(2, 1)$ -perchè i vettori di cui conosciamo l'immagine sono una base di $RR^3$-
L'esercizio mi chiede appunto di trovare una base di $Im(T)$ e di $N(T)$.
Risposte
"turtle87":
...
$T : RR^3 rarr RR^2$, definita univocamente da $T(1, 1, 1)= (-1, 2), T(0, 1, 1)=(0, 4), T(1, 1, 0)=(2, 1)$
L'esercizio mi chiede appunto di trovare una base di $Im(T)$ e di $N(T)$.
Guarda come vengono trasformati i vettori della base canonica di $RR^3$:
$T((1),(0),(0)) = T((1),(1),(1)) - T((0),(1),(1)) = ((-1),(2)) - ((0),(4)) = ((-1),(-2))$
$T((0),(0),(1)) = T((1),(1),(1)) - T((1),(1),(0)) = ((-1),(2)) - ((2),(1)) = ((-3),(1))$
$T((0),(1),(0)) = T((1),(1),(0)) - T((1),(0),(0)) = ((2),(1)) - ((-1),(-2)) = ((3),(3))$
"franced":
[quote="turtle87"]
...
$T : RR^3 rarr RR^2$, definita univocamente da $T(1, 1, 1)= (-1, 2), T(0, 1, 1)=(0, 4), T(1, 1, 0)=(2, 1)$
L'esercizio mi chiede appunto di trovare una base di $Im(T)$ e di $N(T)$.
Guarda come vengono trasformati i vettori della base canonica di $RR^3$:
$T((1),(0),(0)) = T((1),(1),(1)) - T((0),(1),(1)) = ((-1),(2)) - ((0),(4)) = ((-1),(-2))$
$T((0),(0),(1)) = T((1),(1),(1)) - T((1),(1),(0)) = ((-1),(2)) - ((2),(1)) = ((-3),(1))$
$T((0),(1),(0)) = T((1),(1),(0)) - T((1),(0),(0)) = ((2),(1)) - ((-1),(-2)) = ((3),(3))$[/quote]
Una volta fatto questo studia la matrice che rappresenta l'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche:
$((-1,3,-3),(-2,3,1))$
è chiaro che l'immagine coincide con $RR^2$.
Per il nucleo dell'applicazione svolgi i calcoli..
Quindi (non è un "up", ma una discussione cui avevo dimenticato di rispondere) devo ragionare allo stesso modo. Trovo le immagini e studio il rango della matrice di tali immagini, che evidentemente (prendo ad esempio il caso in questione) non sarebbe mai potuto essere $3$, per vedere se l'insieme delle immagini coincida o meno con $RR^2$. Giusto?
Sì.
Anche se la funzione fosse quella da me postata all'inizio del thread, e non quella che posti tu (dove il codominio ha dimensione pari al dominio, a differenza della "mia"
in cui il codominio ha dimensioni minori di quelle del dominio)?
che il rango è sempre minore o uguale al minore tra m e n
Infatti. Ci ho riflettuto dopo che avevo scritto. Grazie, ancora una volta.
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