Procedimento per risolvere un sistema lineare
[size=150]C[/size]iao a tutti, posto qui i miei dubbi, sperando che qualcuno mi risponda...
Sia (A,B) un sistema, con A matrice dei coefficienti e B colonna dei termini noti:
- det(A) = 0 se e solo se le colonne della matrice A sono linearmente dipendenti
- Il sistema ha soluzione se e solo se B è combinazione lineare delle colonne di A, ovvero che la dim (A) = dim (B), ovvero che il rg (A) = rg (A,B)
- Le soluzioni del sistema omogeneo, sono il sottospazio di Ker f, ovvero del nucleo della applicazione lineare che genera la matrice associata (inoltre questo sistema ha sempre soluzione per la proprietà che manda lo 0 del dominio nello 0 del codominio)
- Se il sistema ha soluzioni (ovvero det (A) = 0), allora il n delle soluzioni è |K|^dim (ker f)
Ora avendo un sistema parametrico (A,B), vi spiego come faccio per trovare il numero delle soluzioni:
- Calcolo det (A), e mi salterà fuori un polinomio, e dirò che: per valori parametrici diversi dalle soluzioni del polinomio, che implicherebbero det (A) = 0, il sistema ha una sola soluzione (cosi abbiamo scritto in classe, ma non ho capito bene il perchè).
Per i valori parametrici che implicherebbero det (A) = 0, ora posso trovarmi davanti 2 casi (3 con il sistema omogeneo)
1) Il rg (A) = rg (A,B), allora il sistema ha soluzioni
2) I due ranghi non sono uguali e il sistema non ha soluzioni.
Premetto che non conosco l'algoritmo di Gauss, per "gradinare" la matrice (e anche molte altre cose), perchè non ce l'hanno spiegato, ma perfavore qualcuno mi dica se questo procedimento è sbagliato o se posso fare a meno di alcuni passaggi o se sono un incapace ed è meglio che lunedi io non vada all'esame
...
Grazie in anticipo a chi mi risponderà...
Sia (A,B) un sistema, con A matrice dei coefficienti e B colonna dei termini noti:
- det(A) = 0 se e solo se le colonne della matrice A sono linearmente dipendenti
- Il sistema ha soluzione se e solo se B è combinazione lineare delle colonne di A, ovvero che la dim (A) = dim (B), ovvero che il rg (A) = rg (A,B)
- Le soluzioni del sistema omogeneo, sono il sottospazio di Ker f, ovvero del nucleo della applicazione lineare che genera la matrice associata (inoltre questo sistema ha sempre soluzione per la proprietà che manda lo 0 del dominio nello 0 del codominio)
- Se il sistema ha soluzioni (ovvero det (A) = 0), allora il n delle soluzioni è |K|^dim (ker f)
Ora avendo un sistema parametrico (A,B), vi spiego come faccio per trovare il numero delle soluzioni:
- Calcolo det (A), e mi salterà fuori un polinomio, e dirò che: per valori parametrici diversi dalle soluzioni del polinomio, che implicherebbero det (A) = 0, il sistema ha una sola soluzione (cosi abbiamo scritto in classe, ma non ho capito bene il perchè).
Per i valori parametrici che implicherebbero det (A) = 0, ora posso trovarmi davanti 2 casi (3 con il sistema omogeneo)
1) Il rg (A) = rg (A,B), allora il sistema ha soluzioni
2) I due ranghi non sono uguali e il sistema non ha soluzioni.
Premetto che non conosco l'algoritmo di Gauss, per "gradinare" la matrice (e anche molte altre cose), perchè non ce l'hanno spiegato, ma perfavore qualcuno mi dica se questo procedimento è sbagliato o se posso fare a meno di alcuni passaggi o se sono un incapace ed è meglio che lunedi io non vada all'esame
...Grazie in anticipo a chi mi risponderà...
Risposte
I passaggi che hai scritto mi pare che vadano tutti bene e che servano tutti. Una sola cosa: quando la matrice $A$ è singolare e i ranghi di $A$ e della matrice $A|B$ sono uguali il sistema ha infinite soluzioni (anche se penso che 'sta parola ti sia soltanto rimasta nella tastiera...).
Prendi per semplicità $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$, $X, B \in \mathbb{R}^n$, con $X$ vettore incognito. Il sistema in forma matriciale è
$A X = B$
Se $A$ è invertibile (i.e. il determinante è diverso da zero) allora ammette inversa, moltiplicando a sinistra ambo i membri per $A^{-1}$ si ottiene $X = A^{-1} B$, che è per l'appunto l'unica soluzione del sistema.
Analogamente puoi osservare che una matrice $A$ così definita rappresenta un'applicazione lineare di $\mathbb{R}^n$ in sé. Se il determinante di $A$ è non nullo significa che le colonne di $A$ sono linearmente indipendenti, ovvero che la dimensione dell'immagine è $n$, di conseguenza l'applicazione è suriettiva, ma essendo un endomorfismo è pure iniettiva, e quindi invertibile. Di conseguenza la controimmagine di $B$ tramite $A$ coincide con un unico elemento di $\mathbb{R}^n$ che è, per l'appunto, $A^{-1} B$.
"Optimus Prime":
- Calcolo det (A), e mi salterà fuori un polinomio, e dirò che: per valori parametrici diversi dalle soluzioni del polinomio, che implicherebbero det (A) = 0, il sistema ha una sola soluzione (cosi abbiamo scritto in classe, ma non ho capito bene il perchè).
Prendi per semplicità $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$, $X, B \in \mathbb{R}^n$, con $X$ vettore incognito. Il sistema in forma matriciale è
$A X = B$
Se $A$ è invertibile (i.e. il determinante è diverso da zero) allora ammette inversa, moltiplicando a sinistra ambo i membri per $A^{-1}$ si ottiene $X = A^{-1} B$, che è per l'appunto l'unica soluzione del sistema.
Analogamente puoi osservare che una matrice $A$ così definita rappresenta un'applicazione lineare di $\mathbb{R}^n$ in sé. Se il determinante di $A$ è non nullo significa che le colonne di $A$ sono linearmente indipendenti, ovvero che la dimensione dell'immagine è $n$, di conseguenza l'applicazione è suriettiva, ma essendo un endomorfismo è pure iniettiva, e quindi invertibile. Di conseguenza la controimmagine di $B$ tramite $A$ coincide con un unico elemento di $\mathbb{R}^n$ che è, per l'appunto, $A^{-1} B$.
Ti ringrazio molto, mi hai aiutato anche più del necessario, mi manca solo una cosa: e se per esempio il campo fosse un anello quoziente?
Prendiamo $ZZ$$/89$$ZZ$, questo campo ha 89 elementi, certo ogni classe ha infiniti elementi, ma di per se |$ZZ$$/89$$ZZ$| = 89. Sto sbagliando tutto vero? grazie ancora per la risposta...
Prendiamo $ZZ$$/89$$ZZ$, questo campo ha 89 elementi, certo ogni classe ha infiniti elementi, ma di per se |$ZZ$$/89$$ZZ$| = 89. Sto sbagliando tutto vero?
grazie ancora per la risposta...
Gli elementi di $\mathbb{Z}_{89}$ sono classi di equivalenza, e sono $89$. Poi ogni classe di equivalenza ha infiniti elementi, ma chissene...
Thank you very much
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