[Teoria, algebra] Ancora sottospazi (un' implicazione).

[turtle87crociato]

Sappiamo che vale l'implicazione secondo cui l'insieme delle combinazioni lineari di $n$ vettori è un sottospazio vettoriale generato dagli $n$ vettori. Quindi vale l'implicazione secondo cui:

$I$ = insieme delle combinazioni lineari di $n$ vettori di uno spazio $V$ $=>$ $I$ sottospazio di $V$.

Vale l'implicazione inversa? Cioè, che ogni sottospazio possa essere "modellizzato" come l'insieme delle combinazioni lineari di $n$ vettori?
Vale solo in alcuni casi (es. sottospazi finitamente generabili)? Se sì, come si dimostra?

Dovrei sbrigarmela da solo, forse qualcuno mi ha già risposto sull'argomento, ma la domanda diretta non l'ho mai posta e solo oggi sono riuscito a riformularla bene. Sono un po' confuso su questo, e pertanto non aggiungo altro.

[Leonardo891]

"turtle87":Cioè, che ogni sottospazio possa essere "modellizzato" come l'insieme delle combinazioni lineari di $n$ vettori?

Certo che sì (si dice che gli n vettori costituiscono un sistema di generatori del sottospazio), e se questi n vettori sono linearmente indipendenti si dice che costituiscono una base del sottospazio vettoriale in questione (che poi è a sua volta uno spazio vettoriale, a causa della sua stessa definizione).

"turtle87":Vale solo in alcuni casi (es. sottospazi finitamente generabili)? Se sì, come si dimostra?

So che si può dimostrare che ogni spazio vettoriale (finito o infinito che sia) ammette base, non so farlo però e lascio la parola a persone più esperte.
Non è affatto difficile, invece, dimostrare l'esistenza di basi di spazi vettoriali specifici, come lo spazio dei polinomi di grado $<=$ n in $CC$, $QQ^n$ (entrambi con n fissato, ovviamente ) ecc. ecc. , basta trovarne una.
Ciao

Leonardo

Edit:
P.S. Ops, non avevo visto la risposta di Sergio. Piuttosto,

"Sergio":Uno spazio vettoriale è l'insieme di tutte le combinazioni lineari dei suoi elementi.

Non so fino a che punto sia giusto dirlo così. Cioè, è vero ma non vorrei che passasse come la definizione di spazio vettoriale per chi non ne sa niente.

[turtle87crociato]

Certo che sì (si dice che gli n vettori costituiscono un sistema di generatori del sottospazio), e se questi n vettori sono linearmente indipendenti si dice che costituiscono una base del sottospazio vettoriale in questione (che poi è a sua volta uno spazio vettoriale, a causa della sua stessa definizione).

Leggo da wikipedia (che non sarà molto affidabile, secondo alcuni, ma che un fondo di verità dovrebbe averlo):

"Sia K un campo (ad esempio il campo dei numeri reali R). Sia V uno spazio vettoriale su K e denotiamo con 0V il suo vettore nullo. Un sottoinsieme non vuoto W di V è un sottospazio vettoriale di V se valgono le seguenti proprietà:

se u e v sono elementi di W, allora anche la loro somma u + v è un elemento di W;
se u è un elemento di W e λ è uno scalare in K, allora il prodotto λu è un elemento di W.

Queste due condizioni sono equivalenti alla seguente:

Se u e v sono elementi di W, λ e μ sono elementi di K, allora λu + μv è un elemento di W. "

Il termine in grassetto, era quello che mi mancava.
In effetti io, non so perchè, ho solo visto il caso in cui si dimostrava che l'insieme delle combinazioni lineari di un sottospazio fosse un sottospazio vettoriale, e non che "ogni" sottospazio potesse essere interpretabile così. Quindi non mi giustificavo l'equivalenza, ma solo una delle due implicazioni che devono giustificare un' equivalenza.

A me come definizione di sottospazio, mi è stata data solo quella che ho evidenziato in rosso. Anche in altri casi, in cui ho chiesto dimostrazioni di proprietà dei sottospazi, mi è stato detto che dovevo risalire alla definizione. Perchè probabilmente la definizione di sottospazio può essere data in modo più esauriente di quella che posseggo io. In ogni caso, negli altri frangenti, mi sono state date spesso dimostrazioni di proprietà che non dovevano affatto essere necessariamente dimostrare conoscendo le definizioni "allargate".

A questo punto, chiedo:
E' possibile, basandosi su quelle due righe, "dimostrare" che vale anche l'implicazione:

$I$ sottospazio $\to$ $I$ è l'insieme delle combinazioni lineari di $n$ suoi vettori (con n$<= dimV$, con $I$ sottospazio di $V$),

data per scontata da definizioni di sottospazio più esaurienti rispetto a quella che conosco io?

[Leonardo891]

turtle87 secondo me la definizione di sottospazio vettoriale che hai dato è perfetta.

"Sergio":[quote="turtle87"]A questo punto, chiedo:
E' possibile, basandosi su quelle due righe, "dimostrare" che vale anche l'implicazione:

$I$ sottospazio $\to$ $I$ è l'insieme delle combinazioni lineari di $n$ suoi vettori (con n$<= dimV$, con $I$ sottospazio di $V$)

Cosa vuol dire "combinazione lineare" di $n$ vettori? Vuol dire "moltiplicare quegli $n$ vettori per alcuni scalari e poi sommare i prodotti".[/quote]

turtle87, secondo me stai chiedendo, forse senza saperlo, se dato uno spazio vettoriale esiste un sistema di generatori, in pratica se ne esiste una base.