Esercizio endomorfismi
Ho un problema, qui a pag. 33 primo esercizio:
http://www.dmi.unict.it/~gquattro/quatt ... emente.pdf
Se al posto di avere la funzione espressa come [tex]f(v1)=.......,f(v2)=....[/tex] volessi la forma generica [tex]f(x,y,z)=....[/tex] cosa dovrei fare?
http://www.dmi.unict.it/~gquattro/quatt ... emente.pdf
Se al posto di avere la funzione espressa come [tex]f(v1)=.......,f(v2)=....[/tex] volessi la forma generica [tex]f(x,y,z)=....[/tex] cosa dovrei fare?
Risposte
innanzi tutto, $ B={v_1,v_2,v_3} $ costituisce una base di $ R^3 $ , facilmente dimostrabile tramite il determinante di $ ((1,0,0),(0,2,1),(1,0,1)) $ che risulta essere diverso da zero, quindi sappiamo che il dominio di f é effettivamente $ R^3 $ .
A questo punto sappiamo che la matrice associata al'applicazione f rispetto alla base B è $ A = ((h-1,0,2),(-1,3,1),(1,0,h)) $ quindi la matrice M di f rispetto alla base canonica risulta essere, tramite un cambiamento del tipo $ (Base canonica -> B) * f *( B -> Base canonica) $ , $ M=B^(-1) A B = ((h+1,0,2),(0,3,3/2-h/2),(0,0,h-2)) $.
Ora che conosciamo la matrice associata all'applicazione lineare f possiamo calcolarne la forma esplicita:
$ f(x,y,z)= M((x),(y),(z)) = ((h+1,0,2),(0,3,3/2-h/2),(0,0,h-2)) ((x),(y),(z)) = ((h+1)x+2z,3y+((3-h)/2)z,(h-2)z) $
Spero i calcoli siano giusti, ciao.
A questo punto sappiamo che la matrice associata al'applicazione f rispetto alla base B è $ A = ((h-1,0,2),(-1,3,1),(1,0,h)) $ quindi la matrice M di f rispetto alla base canonica risulta essere, tramite un cambiamento del tipo $ (Base canonica -> B) * f *( B -> Base canonica) $ , $ M=B^(-1) A B = ((h+1,0,2),(0,3,3/2-h/2),(0,0,h-2)) $.
Ora che conosciamo la matrice associata all'applicazione lineare f possiamo calcolarne la forma esplicita:
$ f(x,y,z)= M((x),(y),(z)) = ((h+1,0,2),(0,3,3/2-h/2),(0,0,h-2)) ((x),(y),(z)) = ((h+1)x+2z,3y+((3-h)/2)z,(h-2)z) $
Spero i calcoli siano giusti, ciao.
Mh...non ti seguo chiaramente.... 
Tutta la premessa non mi quadra e non capisco il perchè, B non ha come vettori v1,v2,v3, ma (e1,v2,e3) come detto nell' esercizio stesso più avanti.
L' applicazione è un endomorfismo, e le componenti dei vettori dopo aver applicato la f come indicato nel pdf sono in base A. Quindi dovrebbe essere definita in A a valori in A, poichè la applichiamo ai vettori v1,v2,v3 che sono in base A.
Poi la matrice associata all' endomorfismo, perchè la scrivi con vettori in colonna? Quello non si fa quando bisogna studiare kerf e Imf partendo dai vettori, e si mettono in colonna? In questo caso non dovrei mettere in orizzontale i vettori nella matrice?
Detto ciò......se mi illuminassi di nuovo su come ricavare quell' equazione generica della f...te ne sarei grato
Tutta la premessa non mi quadra e non capisco il perchè, B non ha come vettori v1,v2,v3, ma (e1,v2,e3) come detto nell' esercizio stesso più avanti.
L' applicazione è un endomorfismo, e le componenti dei vettori dopo aver applicato la f come indicato nel pdf sono in base A. Quindi dovrebbe essere definita in A a valori in A, poichè la applichiamo ai vettori v1,v2,v3 che sono in base A.
Poi la matrice associata all' endomorfismo, perchè la scrivi con vettori in colonna? Quello non si fa quando bisogna studiare kerf e Imf partendo dai vettori, e si mettono in colonna? In questo caso non dovrei mettere in orizzontale i vettori nella matrice?
Detto ciò......se mi illuminassi di nuovo su come ricavare quell' equazione generica della f...te ne sarei grato
Non devo essere stato molto chiaro, e provo a ripercorrere il ragionamento :
Quello che intendo fare è affrontare il problema in termini matriciali, in particolare tramite un cambiamento di base;
La funzione infatti è definita da $ f(v_1)=w_1,f(v_2)=w_2,f(v_3)=w_3 $ con $ {v_1,v_2,v_3} = A $ una base di $ R^3 $ .
essendo $ w_1=(h-1,-1,1)_A , w_2 = (0,3,0)_A , w_3=(2,1,h)_A $ vettori di $ R^3 $ espressi in coordinate rispetto alla base A, possiamo riscrivere la funzione in questo modo:
$ f(1,0,0)_A = (h-1,-1,1)_A $
$ f(0,1,0)_A = (0,3,0)_A $
$ f(0,0,1)_A = (2,1,h)_A
Quindi per definizione, possiamo scrivere la matrice associata a f come $ B_f=((h,0,2),(-1,3,1),(1,0,h)) $
In cui le coordinate delle immagini dei vettori della base A, espressi in coordinate riespetto alla base A, sono le colonne della matrice $ B_f $.
Abbiamo ora quindi la matrice associata di f rispetto alla base A, e per rispondere alla tua domanda dovremmo avere tra le mani la matrice associata invece rispetto alle basi canoniche di $ R^3 $ , e per questo dovremmo utilizzare un cambiamento di base:
dobbiamo scrivere in termini matriciali il seguente diagramma :
$ (v)_xi rarr (v)_A rarr (w)_A rarr (w)_xi $
in cui $ xi $ è la base canonica di $ R^3 $ , v appartiene al domino e w è immagine di v ;
La matrice di passaggio dalla base A alla base canonica è $ H_(A rarr xi) = ((1,0,0),(0,2,1),(1,0,1)) $ mentre la matrice di passaggio dalla base canonica alla base A è l'inversa di H, ovvero $ H_(xi rarr A) = (H_(A rarr xi))^(-1) = ((1,0,0),(1/2,1/2,-1/2),(-1,0,1)) $
ora quindi posta $ C =H_(A rarr xi) $, scriviamo il diagramma precendente in questo modo : $ C^-1 * B * C = ((h+1,0,2),(0,3,(3-h)/2),(0,0,h-2)) = M $.
La matrice M a questo punto rappresenta la matrice associata all'applicazione descritta nell'esercizio rispetto alle basi canoniche , ricavata con tanti sanguinosissimi calcoli e altrettante parole...XD
A questo punto, utilizzando la notazione di prodotto di matrice per vettore, puoi scrivere la funzione di un generico vettore di $R^3$ tipo $ (x,y,z) $ come :
$ f(x,y,z) = M*((x),(y),(z)) $, ovvero quello scritto sopra...
spero di essere stato più esauriente che nell'altra risposta...
Quello che intendo fare è affrontare il problema in termini matriciali, in particolare tramite un cambiamento di base;
La funzione infatti è definita da $ f(v_1)=w_1,f(v_2)=w_2,f(v_3)=w_3 $ con $ {v_1,v_2,v_3} = A $ una base di $ R^3 $ .
essendo $ w_1=(h-1,-1,1)_A , w_2 = (0,3,0)_A , w_3=(2,1,h)_A $ vettori di $ R^3 $ espressi in coordinate rispetto alla base A, possiamo riscrivere la funzione in questo modo:
$ f(1,0,0)_A = (h-1,-1,1)_A $
$ f(0,1,0)_A = (0,3,0)_A $
$ f(0,0,1)_A = (2,1,h)_A
Quindi per definizione, possiamo scrivere la matrice associata a f come $ B_f=((h,0,2),(-1,3,1),(1,0,h)) $
In cui le coordinate delle immagini dei vettori della base A, espressi in coordinate riespetto alla base A, sono le colonne della matrice $ B_f $.
Abbiamo ora quindi la matrice associata di f rispetto alla base A, e per rispondere alla tua domanda dovremmo avere tra le mani la matrice associata invece rispetto alle basi canoniche di $ R^3 $ , e per questo dovremmo utilizzare un cambiamento di base:
dobbiamo scrivere in termini matriciali il seguente diagramma :
$ (v)_xi rarr (v)_A rarr (w)_A rarr (w)_xi $
in cui $ xi $ è la base canonica di $ R^3 $ , v appartiene al domino e w è immagine di v ;
La matrice di passaggio dalla base A alla base canonica è $ H_(A rarr xi) = ((1,0,0),(0,2,1),(1,0,1)) $ mentre la matrice di passaggio dalla base canonica alla base A è l'inversa di H, ovvero $ H_(xi rarr A) = (H_(A rarr xi))^(-1) = ((1,0,0),(1/2,1/2,-1/2),(-1,0,1)) $
ora quindi posta $ C =H_(A rarr xi) $, scriviamo il diagramma precendente in questo modo : $ C^-1 * B * C = ((h+1,0,2),(0,3,(3-h)/2),(0,0,h-2)) = M $.
La matrice M a questo punto rappresenta la matrice associata all'applicazione descritta nell'esercizio rispetto alle basi canoniche , ricavata con tanti sanguinosissimi calcoli e altrettante parole...XD
A questo punto, utilizzando la notazione di prodotto di matrice per vettore, puoi scrivere la funzione di un generico vettore di $R^3$ tipo $ (x,y,z) $ come :
$ f(x,y,z) = M*((x),(y),(z)) $, ovvero quello scritto sopra...
spero di essere stato più esauriente che nell'altra risposta...
Mamma mia 
Quindi per ottenere la funzione espressa come dico dobbiamo necessariamente passare alle basi canoniche?
Io solitamente se devo passare ad un' altra base faccio la seguente cosa, nel nostro caso.
Prendo i vettori in base A e li porto in base canonica determinando:
[tex](1,0,1)=\alpha e_1+\beta e_2+\gamma e_3[/tex]
.
.
.
E così via per gli altri due vettori della base A....Però in questo caso non funziona e le componenti rimangono uguali ...al posto di usare le matrici di cambiamento di base non si potrebbe fare similmente a come intendevo io? Cioè determinando [tex]\alpha,\beta,\gamma[/tex] componenti dei vettori in base canonica?
Scusa se insisto, è perchè solitamente uso questo procedimento e vorrei restare fermo su questo, perchè ho poca dimestichezza con questo argomento.
Quindi per ottenere la funzione espressa come dico dobbiamo necessariamente passare alle basi canoniche?
Io solitamente se devo passare ad un' altra base faccio la seguente cosa, nel nostro caso.
Prendo i vettori in base A e li porto in base canonica determinando:
[tex](1,0,1)=\alpha e_1+\beta e_2+\gamma e_3[/tex]
.
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E così via per gli altri due vettori della base A....Però in questo caso non funziona e le componenti rimangono uguali
...al posto di usare le matrici di cambiamento di base non si potrebbe fare similmente a come intendevo io? Cioè determinando [tex]\alpha,\beta,\gamma[/tex] componenti dei vettori in base canonica?Scusa se insisto, è perchè solitamente uso questo procedimento e vorrei restare fermo su questo, perchè ho poca dimestichezza con questo argomento.
Scusami sto leggendo il post adesso.....c' è solo la parte finale che non mi convince. Quando facciamo:
[tex]C^{-1}*B*C[/tex] Non capisco come fai ad ottenere quella matrice con h, io ho trovato C e [tex]C^{-1}[/tex] ma non capisco come fai ad ottenere quei valori, avresti la pazienza di indicarmi esplicitamente, scrivendole, quali sono queste tre matrici che moltiplichiamo? Se fai questo ti ringrazio perchè capirò tutto.....ti prego.
[tex]C^{-1}*B*C[/tex] Non capisco come fai ad ottenere quella matrice con h, io ho trovato C e [tex]C^{-1}[/tex] ma non capisco come fai ad ottenere quei valori, avresti la pazienza di indicarmi esplicitamente, scrivendole, quali sono queste tre matrici che moltiplichiamo? Se fai questo ti ringrazio perchè capirò tutto.....ti prego.
ciao, scusami il ritardo ma non ho avuto fino ad oggi la possibilità di usare internet, comunque da quello che ho capito non riesci a capire da dove sono usciti i valori della matrice finale.
Penso che tu abbia inteso che io eseguo un cambiamento di base dalla base A alla base canonica $ xi $ , quindi questo passo non penso richieda ulteriori spiegazioni, quindi tento di chiarire il tuo effettivo dubbio...
Le "h" nascono dalla matrice $ B_f $ , ovvero la matrice che nella prima parte del post avevo ricavato come matrice associata ad f rispetto alla base A, e nel calcolo finale di $ C^(-1) * B_f * C $ avevo purtroppo omesso il pedice f...
Quindi ora dovrebbe esserti più chiaro che alla matrice B che avevo calcolato all'inizio eseguo un cambiamento di base alla base canonica di $R^3$...almeno lo spero... se hai ancora dubbi io sn qui...
Penso che tu abbia inteso che io eseguo un cambiamento di base dalla base A alla base canonica $ xi $ , quindi questo passo non penso richieda ulteriori spiegazioni, quindi tento di chiarire il tuo effettivo dubbio...
Le "h" nascono dalla matrice $ B_f $ , ovvero la matrice che nella prima parte del post avevo ricavato come matrice associata ad f rispetto alla base A, e nel calcolo finale di $ C^(-1) * B_f * C $ avevo purtroppo omesso il pedice f...
Quindi ora dovrebbe esserti più chiaro che alla matrice B che avevo calcolato all'inizio eseguo un cambiamento di base alla base canonica di $R^3$...almeno lo spero...
se hai ancora dubbi io sn qui...
Ah ok ti ringrazio, quindi in sostanza è la matrice B di partenza con h, ora ho capito, anche se li nella prima colonna il primo termine che hai riportato non è solo h ,dovrebbe essere [tex]h-1[/tex]
Cmq grazie si ho capito si tratta di fare qualche esercizio adesso
Per caso sapresti anche aiutarmi qui?
https://www.matematicamente.it/forum/ese ... 78409.html
Grazie
Cmq grazie si ho capito si tratta di fare qualche esercizio adesso
Per caso sapresti anche aiutarmi qui?
https://www.matematicamente.it/forum/ese ... 78409.html
Grazie
di niente! adesso vedo per l'altro esercizio...
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