Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Scusate qualcuno può togliermi un paio di dubbi? Mi vengono dati due punti $A$ e $B$ nello spazio e mi viene richiesto di trovare l'angolo $AOB$. Il primo dubbio che ho è questo: è indifferente calcolare il vettore $AO$ rispetto a $OA$? Inoltre, una volta trovati i parametri direttori, utilizzando la formula del coseno tra due rette, troverò due angoli supplementari, visto che la formula ha davanti $ \pm $ . Come ...
Mi è venuta una curiosità. So che negli spazi metrici compattezza per successioni e per ricoprimenti sono equivalenti.
In uno spazio topologico generico nessuna delle due implica l'altra (giusto?). La domanda è questa: esistono proprietà che garantiscono invece che la compattezza per successioni implichi quella per ricoprimenti o viceversa (ovviamente in uno spazio non metrizzabile)? Non so, ad esempio, che lo spazio topologico soddisfi qualche assioma di numerabilità...
Vi ringrazio in ...
Fino a qualche mese fa, quando ero ancora un giovane e innocente studente di Analisi II ( ), un campo vettoriale era tout court una funzione [tex]f: A \subseteq \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{n}$[/tex]. Con questa definizione, potevo calcolare limiti, scrivere la jacobiana etc.
Bene queste certezze sono un po' crollate.
Sia [tex]M[/tex] una varietà differenziabile (di dimensione [tex]n[/tex]) e siano [tex]q^i[/tex] le coordinate su [tex]M[/tex]. Preso un punto [tex]x\in M[/tex], posso ...
Sapendo che z = i/2 è soluzione di 2z^3 - (8 + 5i)z^2 + 4(1 + 4i)z + 3(2 - i) = 0, trovare le altre.
C'è qualcuno che potrebbe spiegarmi questo esercizio, passo per passo...
Non riesco ad utilizzare ruffini qui.
Ringrazio tutti anticipatamente
Il metodo di cramer per svolgere i sistemi con determinante diverso da zero è del tipo
$A(x)=b$
E' applicabile anche quanto siamo in presenza di sistema omogeneo, dunque b è il vettor nullO??
Ciao ragazzi,
sono nuovo del forum, ma l'ho usato spesso per cercare esercizi da risolvere per i compiti di algebra lineare. Ora mi trovo davanti ad un esercizio che non ho soluzione e che sinceramente non riesco a risolvere in un punto:
Si consideri in M3(R) la matrice A = $ ( ( a , a , -b ),( a , -b , a ),( a , a , a ) ) $ a,b in R
PUNTO UNO
Si discuta al variare dei parametri a e b il sistema di equazioni lineari, a coefficienti in R nelle incognite x,y,z $ sum :A( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( -1 ),( -1 ),( -1 ) ) $ .
Io l'ho svolto così:
Ho calcolato ...
Salve ragazzi! Vorrei sapere come impostare un esercizio:sono assegnati un punto P nello spazio e due piani, l'esercizio chiede di trovare la retta per P parallela a entrambi i piani. Penso di dover ragionare con i vettori e la forma parametrica della retta, ma il fatto che mi imponga che la retta sia parallela a entrambi i piani mi manda fuori strada. Grazie mille a chi risponderà
Allora ho un problema. Data la sfera di centro C(0,0,0) e tangente alla retta passante per A(1,2,3) e B(1,4,5,) scrivere le equazioni della circonferenza di S appartente ai piani paralleli al piano $x-2y+z-1=0$ che abbiano raggio $Sqrt(5/12)$.
ho trovato la sfera cercando prima la retta tangente , poi il raggio come distanza del centro dalla retta e mi viene $x^2+y^2+z^2=sqrt(3/2)$.. ho rifatto più volte i calcoli ma torna sempre quella come equazione. Il fatto che il raggio della sfera è ...
Ciao a tutti!
Se possibile, vorrei proporvi questo esercizio, era nel compito d'esame, non mi è riusciuto e mi è rimasto in testa .
Voi come lo risolvereste e che procedimento usereste?
Il piano per A= (-1,1,0), ortogonale al piano x-y-z=0 e parallelo alla retta
y+ 2z=3
3x+2y-z=0
ma passa anche per il punto: (scrivere il punto)
Grazie
Salve a tutti,
Al variare di $k in R$ considerare le applicazioni lineari $fk : RR^3->RR^3$ tali che
$f( ( 1 ),( 2),( k ) )=( ( 2+k),( 3 ),(0) ) $
$f( (2),( k+1 ),( -1 ) )=( ( 1 ),( 1),( -2 ) )$
$f( ( -3 ),( 1> ),( 5 ) )=( ( 1),( k ),( 2 ) ) $
per ogni $k $determinare quante sono le $fk$
io non so nemmeno da dove iniziare!!
qualcuno può darmi una mano??
Ciao a tutti!
Avrei bisogno di un aiuto in un esercizio..non mi è chiaro come trovare la forma di Jordan di una matrice.
Mi spiego meglio; ho una matrice A = $ ( ( 2 , 0 , 0 , 0 ),( -1 , 5 , -4 , 3 ),( 0 , 1 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 0 , 2 ) ) $
Devo trovare la sua forma di Jordan. Perciò innanzitutto trovo il polinomio caratteristico e, di conseguenza, gli autovalori.
A me viene autovalore 2 con molteplicità 3, autovalore 5 con molteplicità 1, autovalore 1 con molteplicità 1.
Giusto? Ho sbagliato qualcosa?
Sono un po' in crisi riguardo a questo ...
Sia V uno spazio vettoriale su R e sia B={e1, e2,e3} una base di V.
Definiamo
v1=e1-2e2
v2=e1+e2-e3
v3=2e1-2e2+e3
Provare che C={v1,v2,v3} è una base di V e trovare la matrice del cambiamento di base da B a C e da C a B.
Allora per provare che C è una base ho calcolato il determinante della matrice
$ | ( 1 , -2 , 0 ),( 1 , 1 , -1 ),( 2 , -2 , 1 ) | $
che mi risulta 5, siccome è diverso da 0, C è una base. Corretto fino qui?
A questo punto come faccio a calcolare le due matrici?
Ciao a tutti!
Avrei assolutamente bisogno di un aiuto.
Ho un esercizio di questo genere:
B : K3 x K3 $ rarr $ K la forma bilineare
B ((x1; x2; x3); (y1; y2; y3)) = 6x1y2 + 2x2y2 + x3y1 - 2x3y2
(a) Determinare la matrice di B rispetto alla base canonica e rispetto
alla base
B = $ {(1; 1; 1; ); (1; 1; 0); (1; 0; 0)} $
Ora trovare la matrice di B rispetto alla base canonica è semplice:
A me è venuta A= $ { }( ( 0 , 6 , 0 ),( 0 , 2 , 0 ),( 1 , -2 , 0 ) ) $
Come faccio adesso a trovare la matrice di B rispetto alla nuova base? ...
Ciao, amici!
Non sono del tutto sicuro che si tratti di un argomento "universitario", però, dato che trovo spesso l'argomento delle rette polari di un punto rispetto ad una conica in dispense universitarie, posto qua, scusandomi con i moderatori se sbaglio...
Leggo che l'equazione della polare di un punto $P_0(x_0;y_0)$ rispetto alla parabola $y=ax^2+bx+c$ è $ax_0x+b(x+x_0)/2+c-(y+y_0)/2=0$, ma non trovo da nessuna parte una dimostrazione. Ce ne sono di molto semplici ed utili all'utilissimo sito ...
La classica formula è:
[tex]\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}[/tex]
Ma nello spazio, in cui ho anche z, vale la stessa formula aggiungendo solo z?
Sia un endomorfismo espresso mediante base canonica, [tex]f:R^3->R^3[/tex] e sia la matrice associata all' applicazione:
[tex]\begin{pmatrix}
1 &h &-1 \\
2&1 &h \\
1&2 &-1
\end{pmatrix}[/tex]
Determinare al variare di h [tex]f^-1(1,0,1)[/tex]
Cosa dovrei fare per determinarlo?
Intanto se non ricordo male qualcuno mi aveva detto di calcolare il determinante della matrice, se è uguale a 0 l' immagine inversa che devo cercare è unica.
Il determinante è: ...
Ciao a tutti.
Ho questo problema:
Ho la matrice $D=((2,0,0),(0,-2,0),(0,0,1))$ e devo calcolare la matrice diagonalizzante.
Non riesco bene a capire come fare.
Ho cominciato così:
Ho calcolato il polinomio caratteristico e ottengo un autovalore semplice $\lambda_1=1$ e un autovalore doppio $\lambda_2=2$
Ora come procedo?
mi ritrovo davanti a un sistema
$\{(2x-y+4z+w=-2),(-2x+y-7z+w=-1),(4x-2y+5z+4w=-7):}$
Mi blocco a un certo punto...
Innanzi tutto dovrei vedere se ammette soluzioni... verifico dunque se il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta ottenendo $r(A)=r(A|B)=2$
$((2,-1,4,1),(-2,1,-7,1),(4,-2,5,4)) \ ... \ ((2,-1,4,1),(0,0,-3,2),(0,0,-3,2))$
Dopo essermi calcolato il rango tramite riduzione a scala, per scrivere il sistema scarto le righe che sono ridondanti giusto? in questo caso l'ultima è uguale alla prima quindi il nuovo sistema metterò solamente la ...
io ho il seguente endomorfismo di $R^3$ definito così $f((x,y,z))=(x-y,x-y+2z,-z)$ mi si chiede di trovare la matrice A che rappresenta f rispetto alla base canonica. dai miei calcoli risulta A=$[[1,-1,0],[1,-1,2],[0,0,-1]]$ ed è giusta (fidatevi). Nel punto dopo mi si chiede di trovare una base di $Ker f$ però io so che il nucleo è la soluzione del sistema $AX=0$ quindi devo prendere la matrice A trovata prima e moltiplicarla per la matrice colonna delle incognite x,y,z e risolvere?
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