Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema linear
siano a,b appartenenti R, e sia S l'insieme delle soluzioni del sistema lineare:
2x+2y+z-2w=b
x+10y+2z-7w=a
-3x-z+6w=2a
allora:
a) dimS=2 se b=-a
b) dimS=0 se a=b=0
c) dimS=1 qualunque a,b
d) nessuna delle altre risposte
ho considerato la matrice dei coefficienti e ne ho calcolato il rango poichè dimS=n-rg(a)
ho ottenuto rg(a)=3 quindi dimS=4-3=1
non ho capito però come vanno a influire quei parametri a,b nel mio calcolo
sono alle prime armi con questa robaccia e sto facendo una fatica immane.. se qualcuno mi da qualche dritta ne sarei grato
SOLUZIONE:
2x+2y+z-2w=b
x+10y+2z-7w=a
-3x-z+6w=2a
allora:
a) dimS=2 se b=-a
b) dimS=0 se a=b=0
c) dimS=1 qualunque a,b
d) nessuna delle altre risposte
ho considerato la matrice dei coefficienti e ne ho calcolato il rango poichè dimS=n-rg(a)
ho ottenuto rg(a)=3 quindi dimS=4-3=1
non ho capito però come vanno a influire quei parametri a,b nel mio calcolo
sono alle prime armi con questa robaccia e sto facendo una fatica immane.. se qualcuno mi da qualche dritta ne sarei grato
SOLUZIONE:
Risposte
E' corrretto dire che $rk(A)= 3 $ in quanto la sottomatrice $(3*3) $ data da $((2,2,-2),(1,10,-7),(-3,0,6)) $ ha determinante $ ne 0 $.
Quindi $dim S =4-3 = 1 $ e il sistema ha $oo^1$ soluzioni.
Infatti il sistema iniziale è equivalente a questo :
$2x+2y-2w= b-z$
$x+10y-7w=a-2z$
$ -3x+ 6w= a+z $ ( chiaro come l'ho ricavato ? )
Adesso hai un sistema di 3 equazioni in 3 incognite con determinante della matrice dei coefficienti $ne 0 $.
Allora il sistema ha un'unica soluzione qualunque sia il valore dei termini noti , naturalemnte la soluzione varia al variare dei termini noti ma è sempre unica.
Prima ho detto che le soluzioni sono $oo ^ 1 $ e allora ??
Nessuna contraddizione perchè i termini noti contengono $ z $ parametro liberamente variabile ; quindi il sistema proposto ha $ oo ^1 $ soluzioni indipendenti dai valori assunti da $ a, b $.
Non è " robaccia " affatto, capisco che all'inizio possa essere un po impegnativa.
all
Quindi $dim S =4-3 = 1 $ e il sistema ha $oo^1$ soluzioni.
Infatti il sistema iniziale è equivalente a questo :
$2x+2y-2w= b-z$
$x+10y-7w=a-2z$
$ -3x+ 6w= a+z $ ( chiaro come l'ho ricavato ? )
Adesso hai un sistema di 3 equazioni in 3 incognite con determinante della matrice dei coefficienti $ne 0 $.
Allora il sistema ha un'unica soluzione qualunque sia il valore dei termini noti , naturalemnte la soluzione varia al variare dei termini noti ma è sempre unica.
Prima ho detto che le soluzioni sono $oo ^ 1 $ e allora ??
Nessuna contraddizione perchè i termini noti contengono $ z $ parametro liberamente variabile ; quindi il sistema proposto ha $ oo ^1 $ soluzioni indipendenti dai valori assunti da $ a, b $.
Non è " robaccia " affatto, capisco che all'inizio possa essere un po impegnativa.
all
ok! grazie mille!! se voglio generalizzare il procedimento (visto che è uno degli escizi tipo del compito) dimmi se è corretto così:
se ho una matrice non quadrata la rendo tale lavorando come hai fatto tu su una delle incognite.
verifico il determinante della matrice dei coefficienti: ora se diverso da zero quello sarà il rango e quindi applico la formulina per ricavare la dimensione di S, altrimenti continuo a cercare il rango risolvendo il determinante dei minori di ordine più basso.
giusto?
si lo so che non è robaccia, però mi trovo alle strette col tempo, sto facendo una fullimmersion e quindi puoi capire un attimo di spaesamento
se ho una matrice non quadrata la rendo tale lavorando come hai fatto tu su una delle incognite.
verifico il determinante della matrice dei coefficienti: ora se diverso da zero quello sarà il rango e quindi applico la formulina per ricavare la dimensione di S, altrimenti continuo a cercare il rango risolvendo il determinante dei minori di ordine più basso.
giusto?
si lo so che non è robaccia, però mi trovo alle strette col tempo, sto facendo una fullimmersion e quindi puoi capire un attimo di spaesamento
A)Se hai una matrice quadrata con $ det A ne 0 $ allora il sistema ha una e una sola soluzione che puoi trovare ad es. con la regola di Cramer o col metodo di sostituzione o sommando/sottraendo membro a membro le equazioni...In questo caso il sottospazio $S $ delle soluzioni è formato da una sola n-pla e quindi ha dimensione =0 .
B) Se la matrice $A $ ( dei coefficienti ) non è quadrata o è quadrata ma con $ det A= 0 $ allora devi cercare il rango di $A$ , cioè il massimo ordine di sottomatrici quadrate che abbiano $ det ne 0 $ ; ad esempio sia $r(A) = r $.
Per determinare operativamente il rango di una matrice è utile partire da una sottomatrice quadrata anche "piccola ", che si veda ad occhio, ad es. una 2x2 con det $ne 0 $ naturalmente e poi orlarla in tutti i modi possibili con righe e colonne, secondo la regola di Kronecker, fino a determinare quale sia l'ordine massimo di sottomatrice quadrata con $det ne 0 $ .Quello è il rango $r $.
A questo punto determinato il rango della matrice dei coefficienti bisogna verificare che la matrice completa $A| b $ formata dalla matrice $A $ dei coefficienti e dalla colonna dei termini noti affiancati abbia ancora rango $ r $ e non maggiore.
In parole povere il teorema di Rouchè Capelli afferma che un sistema lineare ha soluzioni SE E SOLO SE $r(A )= r(A|b ) $ .
Se $r(A) < r(A|b) $ il sistema è impossibile.
Tornando al caso in cui ci siano soluzioni quante sono ? Esse sono $ oo^(n-r) $ dove $ n $ è il numero di incognite del sistema e $ r $ il rango della matrice dei coefficineti uguale al rango della matrice completa.
Certo che un'occhiata ( eufemismo ) a un testo da parte tua è altamente raccomandabile, direi necessaria.
B) Se la matrice $A $ ( dei coefficienti ) non è quadrata o è quadrata ma con $ det A= 0 $ allora devi cercare il rango di $A$ , cioè il massimo ordine di sottomatrici quadrate che abbiano $ det ne 0 $ ; ad esempio sia $r(A) = r $.
Per determinare operativamente il rango di una matrice è utile partire da una sottomatrice quadrata anche "piccola ", che si veda ad occhio, ad es. una 2x2 con det $ne 0 $ naturalmente e poi orlarla in tutti i modi possibili con righe e colonne, secondo la regola di Kronecker, fino a determinare quale sia l'ordine massimo di sottomatrice quadrata con $det ne 0 $ .Quello è il rango $r $.
A questo punto determinato il rango della matrice dei coefficienti bisogna verificare che la matrice completa $A| b $ formata dalla matrice $A $ dei coefficienti e dalla colonna dei termini noti affiancati abbia ancora rango $ r $ e non maggiore.
In parole povere il teorema di Rouchè Capelli afferma che un sistema lineare ha soluzioni SE E SOLO SE $r(A )= r(A|b ) $ .
Se $r(A) < r(A|b) $ il sistema è impossibile.
Tornando al caso in cui ci siano soluzioni quante sono ? Esse sono $ oo^(n-r) $ dove $ n $ è il numero di incognite del sistema e $ r $ il rango della matrice dei coefficineti uguale al rango della matrice completa.
Certo che un'occhiata ( eufemismo ) a un testo da parte tua è altamente raccomandabile, direi necessaria.
grazie mille per l'aiuto e per la consulenza, ho capito più dalla tua sintesi che dai libri che ho sotto i gomiti.
vedrò di rimediare
vedrò di rimediare
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