Dimostrare che l'applicazione è chiusa

[mameas]

Salve a tutti,
Ho risolto il seguente esercizio (sulla soluzione non sono sicuro).
Mi potete dare un mano. Grazie in anticipo.

Siano dati
$I_1=\{(x,y) \in R^2|y=0, 0\leq x\leq 1\}$
$I_2=\{(x,y)\in R^2|x=1, 0\leq y\leq 1\}$
$I_3=\{(x,y)\in R^2|y=x; x,y in [0 1]\}$
$Q=I_1 \cup I_2 \cup I_3$

ove si definisce la relazione di equivalenza seguente:
[tex]\A (x,y), (x',y') \in Q[/tex], [tex](x,y)\sim (x',y')[/tex] se [tex](x,y)=(x',y')[/tex] oppure [tex](x, y), (x', y')\in I_1[/tex],
[tex](x,y),(x',y')\in I_2[/tex]
Si provi che $\pi : Q\rightarrow Q/\sim$ è chiusa.

Soluzione:

[tex]Q[/tex] è connesso e compatto perciò anche [tex]Q/\sim[/tex] è connesso e compatto. Dobbiamo a questo punto dimostrare che [tex]Q/\sim[/tex] è [tex]T_2[/tex] (di Hausdorff). Cioè dimostrare che l'insieme
[tex]F= \{ (x;y),(u;v): \pi(x;y)=\pi(u;v) \}=\{ (x;y),(u;v): (x;y)\sim(u;v) \}[/tex] è un chiuso in [tex]Q\times Q[/tex].
[tex]C_1=\{ (x;y),(x;y)\in Q\times Q| (x;y)\in Q}[/tex], [tex]C_2=\{ (x;0),(x;0)\in Q\times Q| x\in[0;1]\}[/tex]
[tex]C_3=\{ (1;y),(1;y)\in Q\times Q| y\in[0;1]\}[/tex].
[tex]C_1[/tex] è chiuso perché [tex]Q[/tex] è [tex]T_2[/tex]. [tex]C_2[/tex], [tex]C_3[/tex] sono chiusi perché sono sottoinsiemi di un spazio di [tex]T_2[/tex] ed immagini del compatto [tex][0,1][/tex] di [tex]R[/tex] attraverso applicazioni continue. Poiché [tex]F=C_1 \cup C_2 \cup C_3[/tex] allora anche [tex]F[/tex] sarà chiuso, questo vuol dire che [tex]Q/\sim[/tex] è [tex]T_2[/tex]. Concludo che [tex]\pi[/tex] è chiuso.

[mameas]

Per favore mi potete dare qualche idea come ho risolto l'esercizio?

Grazie

[j18eos]

Praticamente consideriamo un triangolo e facciamo collassare due lati, ed è intuitivamente connesso e compatto!

A parte che si dovrebbe scrivere un pò meglio i vari insiemi a livello di formule, non vedo errori formali!