Matrici associate ad un endomorfismo rispetto a due basi..
qualcuno saprebbe correggere/spiegare/fare i seguenti esercizi perchè non riesco proprio a uscirne? 
si consideri la base ortonormale B di E3 costituito dai vettori:
v1 = ( 1,1,0); v2 = ( 1,-1,0) v3= (0,0,1)
l'endomorfismo Y : E3------> E3 definito da
Y(v1) = v1 - v2, Y(v2) = -v1 + v2 Y(v3) = 3v3
posta W la base canonica di E3 determinare:
1) la matrice M associata a Y rispetto alle basi B,B
2) la matrice M associata a Y rispetto alle basi W,W
3) la matrice M associata a Y rispetto alle basi B,W
4) la matrice M associata a Y rispetto alle basi W,B
5 la matrice di cambio base B,W
6) la mastrice di cambio base W,B
1) basterà sostituire i valori dei vettori all'interno dell'endomorfismo e porli in colonna, quindi
$ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 2 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ) ) $
2) Non saprei da dove partire...
3)Idem
4)Idem
5)bisogna scrivere i vettori di B in base W e porre le varie componenti come colonne della matrice.
(1,1,0) = w1 + w2 (1,-1-0) = w1-w2 (0,0,1) = w3
$ ( ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
6) calcolare l'inversa della matrice appena trovata, essendo la matrice cambiamento di base associata alla funzione identità.
Spero qualcuno venga in mio soccorso. Grazie
si consideri la base ortonormale B di E3 costituito dai vettori:
v1 = ( 1,1,0); v2 = ( 1,-1,0) v3= (0,0,1)
l'endomorfismo Y : E3------> E3 definito da
Y(v1) = v1 - v2, Y(v2) = -v1 + v2 Y(v3) = 3v3
posta W la base canonica di E3 determinare:
1) la matrice M associata a Y rispetto alle basi B,B
2) la matrice M associata a Y rispetto alle basi W,W
3) la matrice M associata a Y rispetto alle basi B,W
4) la matrice M associata a Y rispetto alle basi W,B
5 la matrice di cambio base B,W
6) la mastrice di cambio base W,B
1) basterà sostituire i valori dei vettori all'interno dell'endomorfismo e porli in colonna, quindi
$ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 2 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ) ) $
2) Non saprei da dove partire...
3)Idem
4)Idem
5)bisogna scrivere i vettori di B in base W e porre le varie componenti come colonne della matrice.
(1,1,0) = w1 + w2 (1,-1-0) = w1-w2 (0,0,1) = w3
$ ( ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
6) calcolare l'inversa della matrice appena trovata, essendo la matrice cambiamento di base associata alla funzione identità.
Spero qualcuno venga in mio soccorso. Grazie
Risposte
forse ho sbagliato anche la prima...
Non è che il numero 1 venga
le immagine sono quelle scritte, ma bisogna trasmutarle in base B, quindi....
(0,2,0) = a (1,1,0) + b(1,-1,0) +c(0,0,1) ----> (a+b, a-b,c) ----> a = 1 , b = -1, c = 0
(0,-2,0) = (a+b, a-b,c) ----> a = -1, b = 1, c=0
(0,0,3) = (a+b, a-b,c) ------> a = 0, b = 0, c = 3
La matrice associata a f rispetto la base B è questa o quella di prima? grazie
$ ( ( 1 , -1 , 0 ),( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ) ) $
Non è che il numero 1 venga
le immagine sono quelle scritte, ma bisogna trasmutarle in base B, quindi....
(0,2,0) = a (1,1,0) + b(1,-1,0) +c(0,0,1) ----> (a+b, a-b,c) ----> a = 1 , b = -1, c = 0
(0,-2,0) = (a+b, a-b,c) ----> a = -1, b = 1, c=0
(0,0,3) = (a+b, a-b,c) ------> a = 0, b = 0, c = 3
La matrice associata a f rispetto la base B è questa o quella di prima? grazie
$ ( ( 1 , -1 , 0 ),( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ) ) $
Ricordiamo dalla teoria che se $T in End(V)$ la matrice $M$ associata a $T$ rispetto alle basi $B={b_1,...,b_n}$ e $C$ di $V$ è data dalla seguente regola: la j-esima colonna di $M$ è il vettore delle coordinate di $T(b_j)$ rispetto alla base $C$.
Detto questo così come ogni endomorfismo è univocamente determinato dal suo comportamento su una base, l'applicazione lineare $Y:bbbR^3 to bbbR^3$ è definita rispetto ad una base ortonormale $(v_1,v_2,v_3)$ come
$Y(v_1)=v_1-v_2$
$Y(v_2)=-v_1+v_2$
$Y(v_3)=3 v_3$.
Questo facilità notevolmente il compito di scrivere la matrice associata a $Y$ quando le basi di arrivo e dipartenza coincidono. Per capire però meglio la tecnica per affrontare l'esercizio standard ti consiglio di cimentarti prima con esercizi più generali e poi vedere come i casi particolari si risolvono.
(1) Poichè le basi di partenza e di arrivo coincidono la matrice la scrivi vedendo le tre equazioni delle immagini dei vettori della base come righe della matrice, cioè
$M=((1,-1,0),(-1,1,0),(0,0,3))$.
Spero sia chiaro il motivo: ad esempio se prendi il vettore $v_1$ le sue coordinate rispetto alla base $B$ saranno ovviamente $(1,0,0)$ per cui $M (1,0,0)=(1,-1,0)$ sono le coordinate di $Y(v_1)$ rispetto solita base $B$ e quindi ritrovi $Y(v_1)=v_1-v_2$.
Analogamente funziona per il punto (2).
(3) Seguendo i cenni teorici iniziali calcoli le immagini dei vettori della base $B$ di partenza
$Y(v_1)=(0,2,0)$
$Y(v_2)=(0,-2,0)$
$Y(v_3)=(0,0,3)$
e calcoli le loro coordinate rispetto alla base $W$ di arrivo che, poiche $W$ è la base canonica di $bbbR^3$ coincidono con i vettori stessi. Dunque
$M=((0,0,0),(2,-2,0),(0,0,3))$.
(4) Per risolvere questo punto procedi in maniera analoga al precedente: calcoli le immagini dei vettori di $W$, le loro coordinate rispetto alla base $B$ e le scrivi come colonne della matrice.
(5) Corretto come l'hai svolto.
(6) Puoi, come hai detto, calcolare l'inversa della precedente (e qui non c'è molto da spiegare) oppure procedere come nel punto (5) calcolando le coordinate dei vettori di $W$ rispetto alla base $B$.
Fatto questo puoi verificare come un'altra strada per trovare la matrice associata ad un endomorfismo rispetto a basi non standard sia moltiplicando la matrice ad esso associata rispetto alla base canonica a destra e a sinistra per opportune matrici del cambiamento di base.
Sperando di non aver fatto errori ti consiglio di dare un occhio al thread "Algebra lineare for dummies" se hai dubbi su queste cose perchè è molto chiaro. Buono studio!
Detto questo così come ogni endomorfismo è univocamente determinato dal suo comportamento su una base, l'applicazione lineare $Y:bbbR^3 to bbbR^3$ è definita rispetto ad una base ortonormale $(v_1,v_2,v_3)$ come
$Y(v_1)=v_1-v_2$
$Y(v_2)=-v_1+v_2$
$Y(v_3)=3 v_3$.
Questo facilità notevolmente il compito di scrivere la matrice associata a $Y$ quando le basi di arrivo e dipartenza coincidono. Per capire però meglio la tecnica per affrontare l'esercizio standard ti consiglio di cimentarti prima con esercizi più generali e poi vedere come i casi particolari si risolvono.
(1) Poichè le basi di partenza e di arrivo coincidono la matrice la scrivi vedendo le tre equazioni delle immagini dei vettori della base come righe della matrice, cioè
$M=((1,-1,0),(-1,1,0),(0,0,3))$.
Spero sia chiaro il motivo: ad esempio se prendi il vettore $v_1$ le sue coordinate rispetto alla base $B$ saranno ovviamente $(1,0,0)$ per cui $M (1,0,0)=(1,-1,0)$ sono le coordinate di $Y(v_1)$ rispetto solita base $B$ e quindi ritrovi $Y(v_1)=v_1-v_2$.
Analogamente funziona per il punto (2).
(3) Seguendo i cenni teorici iniziali calcoli le immagini dei vettori della base $B$ di partenza
$Y(v_1)=(0,2,0)$
$Y(v_2)=(0,-2,0)$
$Y(v_3)=(0,0,3)$
e calcoli le loro coordinate rispetto alla base $W$ di arrivo che, poiche $W$ è la base canonica di $bbbR^3$ coincidono con i vettori stessi. Dunque
$M=((0,0,0),(2,-2,0),(0,0,3))$.
(4) Per risolvere questo punto procedi in maniera analoga al precedente: calcoli le immagini dei vettori di $W$, le loro coordinate rispetto alla base $B$ e le scrivi come colonne della matrice.
(5) Corretto come l'hai svolto.
(6) Puoi, come hai detto, calcolare l'inversa della precedente (e qui non c'è molto da spiegare) oppure procedere come nel punto (5) calcolando le coordinate dei vettori di $W$ rispetto alla base $B$.
Fatto questo puoi verificare come un'altra strada per trovare la matrice associata ad un endomorfismo rispetto a basi non standard sia moltiplicando la matrice ad esso associata rispetto alla base canonica a destra e a sinistra per opportune matrici del cambiamento di base.
Sperando di non aver fatto errori ti consiglio di dare un occhio al thread "Algebra lineare for dummies" se hai dubbi su queste cose perchè è molto chiaro. Buono studio!
sei stato davvero un angelo e tempestivo! grazie infinite!!!!
E' un piacere! 
ma quindi la matrice del punto 2 coincide con la matrice del punto 1 poichè:
Y(w1) = w1 - w2 => Y(1,0,0) = (1,0,0)- (0,1,0) = (1,-1,0)
Y(w2) = w2-w1 => Y(0,1,0) = (0,1,0)-(1,0,0) = (-1,1,0)
Y(w3) = 3w3 => Y(0,0,1) = 3(0,0,1) = (0,0,3)
quindi , ponendo sulle colonne ottengo:
$ ( ( 1 , -1 , 0 ),( -1, 1 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ) ) $
giusto o sbagliato!?:(
Y(w1) = w1 - w2 => Y(1,0,0) = (1,0,0)- (0,1,0) = (1,-1,0)
Y(w2) = w2-w1 => Y(0,1,0) = (0,1,0)-(1,0,0) = (-1,1,0)
Y(w3) = 3w3 => Y(0,0,1) = 3(0,0,1) = (0,0,3)
quindi , ponendo sulle colonne ottengo:
$ ( ( 1 , -1 , 0 ),( -1, 1 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ) ) $
giusto o sbagliato!?:(
però, per quanto detto a pag 19 del pdf ricavato da "Algebra Lineare for dummies" che mi hai consigliato, la modalità è tutt'altra. Afferma che per trovare la matrice associata alla base canonica, devo avere le immagini della base canonica. (fino qua il mio ragionamento era corretto), ma non posso fare come fatto sopra:
dovrò esprimere ogni singolo vettore della base canonica come combinazione lineare dei vettori del dominio che conosco e trovarne i coefficienti. Infine porre in colonna le immagini trovate dei vettori della base canonica.. quindi verrebbe
a(1,1,0) + b(1,-1,0) + c(0,0,3) = (a+b, a-b,c)
Quindi
(1,0,0) = (a+b, a-b,c) -------> a = 1/2, b = 1/2 e c = 0
(0,1,0) =(a+b, a-b,c) --------> a = 1/2, b=-1/2 e c = 0
(0,0,1) = (a+b, a-b,c) -------> a = 0, b = 0, c = 1
avendo ora le componenti dei vettori della base canonica rispetto la base B, posso calcolarne le immagini, quindi
Y(1,0,0) = 1/2 Y(v1) + 1/2 (v2) = 0,0,0
Y(0,1,0) = 1/2 Y(v1) - 1/2 (v2) = 0,2,0
Y(0,0,1) = Y(v3) = 0,0,3
quindi la matrice associata a Y rispetto le basi canoniche è
$ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ) ) $
può essere giusto?.... grazie ancora
dovrò esprimere ogni singolo vettore della base canonica come combinazione lineare dei vettori del dominio che conosco e trovarne i coefficienti. Infine porre in colonna le immagini trovate dei vettori della base canonica.. quindi verrebbe
a(1,1,0) + b(1,-1,0) + c(0,0,3) = (a+b, a-b,c)
Quindi
(1,0,0) = (a+b, a-b,c) -------> a = 1/2, b = 1/2 e c = 0
(0,1,0) =(a+b, a-b,c) --------> a = 1/2, b=-1/2 e c = 0
(0,0,1) = (a+b, a-b,c) -------> a = 0, b = 0, c = 1
avendo ora le componenti dei vettori della base canonica rispetto la base B, posso calcolarne le immagini, quindi
Y(1,0,0) = 1/2 Y(v1) + 1/2 (v2) = 0,0,0
Y(0,1,0) = 1/2 Y(v1) - 1/2 (v2) = 0,2,0
Y(0,0,1) = Y(v3) = 0,0,3
quindi la matrice associata a Y rispetto le basi canoniche è
$ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ) ) $
può essere giusto?.... grazie ancora
"Della92":
ma quindi la matrice del punto 2 coincide con la matrice del punto 1 poichè:
Y(w1) = w1 - w2 => Y(1,0,0) = (1,0,0)- (0,1,0) = (1,-1,0)
Y(w2) = w2-w1 => Y(0,1,0) = (0,1,0)-(1,0,0) = (-1,1,0)
Y(w3) = 3w3 => Y(0,0,1) = 3(0,0,1) = (0,0,3)
quindi , ponendo sulle colonne ottengo:
$ ( ( 1 , -1 , 0 ),( -1, 1 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ) ) $
Giusto. Ci tengo solo a precisare che dovresti scrivere in colonna le coordinate delle immagini dei vettori della base di partenza rispetto alla base di arrivo ma, poichè questa è la base canonica, coincidono con i vettori stessi (per capirci $Y(w_1)=(1,-1,0)=1w_1-1w_2+0w_3 Rightarrow text{Coord}_{{w_1,w_2,w_3}}(Y(w_1))=(1,-1,0)$, ma penso che fosse chiaro).
Per quanto riguarda il tuo secondo commento credo che hai fatto un po' di confusione.
"Della92":
dovrò esprimere ogni singolo vettore della base canonica come combinazione lineare dei vettori del dominio che conosco e trovarne i coefficienti. Infine porre in colonna le immagini trovate dei vettori della base canonica.
Dunque tu vuoi trovare la matrice associata a $Y$ rispetto alla base canonica $W$ in partenza e in arrivo. Quindi devi scriverti le coordinate dei vettori di $W$ rispetto a $W$ che quindi saranno sempre $text(Coord)_W (w_1)=(1,0,0)$, $text(Coord)_W(w_2)=(0,1,0)$ e $text(Coord)_W(w_3)=(0,0,1)$ e poi ti fai le immagini mediante $Y$ e le scrivi in colonna (anche qui scrivi direttamente le immagini perchè rispetto alla base canonica questi coincidono con le loro coordinate).Così facendo ottieni di nuovo la matrice trovata nel punto (1) e risolvi il (2).
"Della92":
quindi verrebbe
a(1,1,0) + b(1,-1,0) + c(0,0,3) = (a+b, a-b,c)
Quindi
(1,0,0) = (a+b, a-b,c) -------> a = 1/2, b = 1/2 e c = 0
(0,1,0) =(a+b, a-b,c) --------> a = 1/2, b=-1/2 e c = 0
(0,0,1) = (a+b, a-b,c) -------> a = 0, b = 0, c = 1
Tu qui hai calcolate le coordinate dei vettori di $W$ rispetto alla base $B$, ma la base di partenza è $W$!
Credo quindi che sia giunta l'ora di fare chiarezza! 
Abbiamo un endomorfismo $T:V to V$ con $V$ spazio vettoriale di cui $B$ e $C$ sono due basi. Come c'è scritto nel thread ci sono sostanzialmente due modi per ricavare la matrice associata a $T$
(1° METODO) Sfruttando il fatto che nelle basi canoniche i vettori coincidono con le loro coordinate, ti calcoli $T(e_1)$, $T(e_2)$, ..., $T(e_n)$ e li metti in colonna: quella è la matrice $M$ associata a $T$ rispetto alle basi canoniche.
Ora per calcolare la matrice $M_{B,C}$ associata a $T$ rispetto alle basi $B$ in partenza e $C$ in arrivo lavori sulle coordinate: ti calcoli le coordinate dei vettori $b_1,b_2,...,b_n$ rispetto alla base $E$ (che quindi coincideranno con gli stessi vettori $b_1,b_2,...,b_n$), fai le immagini di queste e infine calcoli le coordinate delle immagini rispetto alla base $C$ e queste saranno le colonne della matrice.
Questo è proprio quello che intendevo quando ti scrivevo la regola "la j-esima colonna della matrice è data dalle coordinate del vettore $T(b_j)$ rispetto alla base $C$".
(2° METODO) Sempre dopo aver calcolato la matrice associata a $T$ rispetto alle basi canoniche, la moltiplichi a sinistra per l'inversa della matrice del cambiamento di base da $C$ a $E$ e a destra per la matrice del cambiamento di base da $B$ a $E$. Ti conviene prima però aver chiaro l'altro metodo.
Ripeto: c'è tutto scritto in quel post.
Abbiamo un endomorfismo $T:V to V$ con $V$ spazio vettoriale di cui $B$ e $C$ sono due basi. Come c'è scritto nel thread ci sono sostanzialmente due modi per ricavare la matrice associata a $T$
(1° METODO) Sfruttando il fatto che nelle basi canoniche i vettori coincidono con le loro coordinate, ti calcoli $T(e_1)$, $T(e_2)$, ..., $T(e_n)$ e li metti in colonna: quella è la matrice $M$ associata a $T$ rispetto alle basi canoniche.
Ora per calcolare la matrice $M_{B,C}$ associata a $T$ rispetto alle basi $B$ in partenza e $C$ in arrivo lavori sulle coordinate: ti calcoli le coordinate dei vettori $b_1,b_2,...,b_n$ rispetto alla base $E$ (che quindi coincideranno con gli stessi vettori $b_1,b_2,...,b_n$), fai le immagini di queste e infine calcoli le coordinate delle immagini rispetto alla base $C$ e queste saranno le colonne della matrice.
Questo è proprio quello che intendevo quando ti scrivevo la regola "la j-esima colonna della matrice è data dalle coordinate del vettore $T(b_j)$ rispetto alla base $C$".
(2° METODO) Sempre dopo aver calcolato la matrice associata a $T$ rispetto alle basi canoniche, la moltiplichi a sinistra per l'inversa della matrice del cambiamento di base da $C$ a $E$ e a destra per la matrice del cambiamento di base da $B$ a $E$. Ti conviene prima però aver chiaro l'altro metodo.
Ripeto: c'è tutto scritto in quel post.
Riesco a fare tutto il resto ma questo proprio non mi torna, ogni volta sembra che sia una regola nuova, a sè. Speriamo solo d'imbroccare la matrice giusta venerdì! grazie ancora della risposta 
"Della92":
ogni volta sembra che sia una regola nuova, a sè
Se proprio non riesci a farti chiarezza limitati applicare la regola "alla cieca": prendi i vettori della base di partenza così come sono, ne calcoli le immagini e trovi le loro coordinate rispetto alla base di arrivo che prendi come colonne della matrice.
Anche se, sinceramente, non darei mai questo consiglio poiché così non riesci ad apprezzare la teoria e comprenderla nella sua completezza! Buono studio!
ho capito finalmente il mio problema.
quando io dico che Y(v1) = v1 + v2, per quale proprietà posso affermare che Y(e1) = e1 + e2?
era per quello che io scrivevo i vettori canonici sotto forma di combinazione lineare della B (composta da v1, v2,v3), perchè credevo che fosse solo con quei 3 vettori (v1,v2,v3) che io potessi lavorare.
quindi Y può essere scritta come Y(x,y,z) : (x-y, -x+y, 3z)?
allora le matrici che cercavo, che ho calcolato sotto questo nuovo punto di vista sono:
1) e 2) essendo la base di partenza uguale a quella di arrivo, mi limito a "ricopiare" in colonna le componenti che vedo all'interno della funzione sopra scritta, quindi B,B e W,W sono uguali a:
$ ( ( 1 , -1 , 0 ),( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ) ) $
3) come hai detto te, trovo semplicemente le immagini e al posto di tradurle in base B (come avrei dovuto fare nell'uno, con un processo puramente meccanico che ho t'ho già fatto vedere nei post precedenti) le riscrivo rispetto alla base canonica E. Ma la base canonica non cambia le componenti, quindi resteranno le stesse, tali:
Y(1,1,0) = ( 1,1,0) - ( 1,-1,0) = (0,2,0)
Y(1,-1,0) = ------------------------ = (0,-2,0)
Y(0,0,1) = ------------------------ = (0,0,3)
tali componenti d'ogni vettore vanno riscritte nella colonna della matrice, ottenendo la matrice associata a Y dalla base B alla base E :
$ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 2 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ) ) $
4)processo inverso di quello appena descritto:
Y(1,0,0) = w1-w2 = (1,-1,0)
Y(0,1,0) = w2-w1 = (-1,1,0)
Y(0,0,3) = 3w3 = (0,0,3)
queste vanno riscritte rispetto a B, eseguendo questo semplice schema
(1,-1,0) = a (1,1,0) + b(1,-1,0) + c( 0,0,1) = (a+b,a-b,c) => a=0, b=1 ,c=0
(-1,1,0) = a (1,1,0) + b(1,-1,0) + c( 0,0,1) = (a+b,a-b,c) => a=0, b=-1 ,c=0
(0,0,3) = a (1,1,0) + b(1,-1,0) + c( 0,0,1) = (a+b,a-b,c) => a=0, b=0 ,c=3
la matrice associata a Y rispetto le basi W(partenza) e B (arrivo) è:
$ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 1 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ) ) $
5) abbiamo detto ok
$ ( ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
6) faccio l'inversa: calcolo il det, il che è uguale a -2, faccio la trasposta, l'aggiunta(calcolo il compl. algebrico di ogni posizione) e divido tutti gli elementi della matrice ottenuta diviso il det trovato prima, ovvero
$ ( ( 1/2 , 1/2 , 0 ),( 1/2 , -1/2 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
Come verifica ho provato che la loro moltiplicazine è la matrice identica, il che dovrebbe essere lecito.
Confido in un tuo YEP *w*
grazie!
quando io dico che Y(v1) = v1 + v2, per quale proprietà posso affermare che Y(e1) = e1 + e2?
era per quello che io scrivevo i vettori canonici sotto forma di combinazione lineare della B (composta da v1, v2,v3), perchè credevo che fosse solo con quei 3 vettori (v1,v2,v3) che io potessi lavorare.
quindi Y può essere scritta come Y(x,y,z) : (x-y, -x+y, 3z)?
allora le matrici che cercavo, che ho calcolato sotto questo nuovo punto di vista sono:
1) e 2) essendo la base di partenza uguale a quella di arrivo, mi limito a "ricopiare" in colonna le componenti che vedo all'interno della funzione sopra scritta, quindi B,B e W,W sono uguali a:
$ ( ( 1 , -1 , 0 ),( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ) ) $
3) come hai detto te, trovo semplicemente le immagini e al posto di tradurle in base B (come avrei dovuto fare nell'uno, con un processo puramente meccanico che ho t'ho già fatto vedere nei post precedenti) le riscrivo rispetto alla base canonica E. Ma la base canonica non cambia le componenti, quindi resteranno le stesse, tali:
Y(1,1,0) = ( 1,1,0) - ( 1,-1,0) = (0,2,0)
Y(1,-1,0) = ------------------------ = (0,-2,0)
Y(0,0,1) = ------------------------ = (0,0,3)
tali componenti d'ogni vettore vanno riscritte nella colonna della matrice, ottenendo la matrice associata a Y dalla base B alla base E :
$ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 2 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ) ) $
4)processo inverso di quello appena descritto:
Y(1,0,0) = w1-w2 = (1,-1,0)
Y(0,1,0) = w2-w1 = (-1,1,0)
Y(0,0,3) = 3w3 = (0,0,3)
queste vanno riscritte rispetto a B, eseguendo questo semplice schema
(1,-1,0) = a (1,1,0) + b(1,-1,0) + c( 0,0,1) = (a+b,a-b,c) => a=0, b=1 ,c=0
(-1,1,0) = a (1,1,0) + b(1,-1,0) + c( 0,0,1) = (a+b,a-b,c) => a=0, b=-1 ,c=0
(0,0,3) = a (1,1,0) + b(1,-1,0) + c( 0,0,1) = (a+b,a-b,c) => a=0, b=0 ,c=3
la matrice associata a Y rispetto le basi W(partenza) e B (arrivo) è:
$ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 1 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ) ) $
5) abbiamo detto ok
$ ( ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
6) faccio l'inversa: calcolo il det, il che è uguale a -2, faccio la trasposta, l'aggiunta(calcolo il compl. algebrico di ogni posizione) e divido tutti gli elementi della matrice ottenuta diviso il det trovato prima, ovvero
$ ( ( 1/2 , 1/2 , 0 ),( 1/2 , -1/2 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
Come verifica ho provato che la loro moltiplicazine è la matrice identica, il che dovrebbe essere lecito.
Confido in un tuo YEP *w*
grazie!
"Della92":
quando io dico che Y(v1) = v1 + v2, per quale proprietà posso affermare che Y(e1) = e1 + e2?
Porca miseria questo è falso e infatti ho sbagliato alla grande! Devi scusarmi, domani rifaccio l'esercizio in maniera corretta e te lo pubblico. Scusami tanto ma non sono stato attento!
Dopo essermi scusato ancora per il mio errore arrivo con la soluziorne con tutti i passaggi. Faccio dunque un po' di chiarezza per non confondermi nuovamente:
$V={v_1=(1,1,0),v_2=(1,-1,0),v_3=(0,0,1)}$ è una base di $bbbR^3$
$E={e_1=(1,0,0),e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1)}$ è la base canonica di $bbbR^3$
$T$ è l'endomorfismo di $bbbR^3$ tale che
$T(v_1)=v_1-v_2=(0,2,0)$
$T(v_2)=-v_1+v_2=(0,-2,0)$
$T(v_3)=3v_3=(0,0,3)$
La regola è sempre la stessa: le colonne della matrice sono le coordinate delle immagini dei vettori della base di partenza rispetto alla base di arrivo.
(1) matrice associata a $T$ rispetto alle basi $V$ di partenza e $V$ di arrivo
Dato che le immagini dei vettori di $V$ sono già date come combinazioni lineari di $v_1,v_2,v_3$ abbiamo già i coefficienti, per cui resta solo da metterli in colonna
$M=((1,-1,0),(-1,1,0),(0,0,3))$
(2) matrice associata a $T$ rispetto alle basi $E$ di partenza e $E$ di arrivo
Ci servono le immagini dei vettori di $E$ per cui ricaviamo le coordinate di $e_1,e_2,e_3$ rispetto alla base $V$
$alpha v_1+beta v_2+gamma v_3=(alpha+beta,alpha-beta,gamma)$
$(alpha+beta,alpha-beta,gamma)=(1,0,0) rArr text(coord)_V(e_1)=(1/2,1/2,0)$
$(alpha+beta,alpha-beta,gamma)=(0,1,0) rArr text(coord)_V(e_2)=(1/2,-1/2,0)$
$(alpha+beta,alpha-beta,gamma)=(0,0,1) rArr text(coord)_V(e_3)=(0,0,1)$
Segue
$T(e_1)=T(1/2v_1+1/2v_2)=1/2T(v_1)+1/2T(v_2)=(0,0,0)$
$T(e_2)=T(1/2v_1-1/2v_2)=1/2T(v_1)-1/2T(v_2)=(0,2,0)$
$T(e_3)=T(v_3)=(0,0,3)$
Poichè la base di arrivo è quella canonica le coordinate delle immagini dei vettori della base di partenza coincidono con i vettori stessi e quindi
$M=((0,0,0),(0,2,0),(0,0,3))$
(3) matrice associata a $T$ rispetto alle basi $V$ di partenza e $E$ di arrivo
Abbiamo già le immagini dei vettori di $V$ ed essendo la base di arrivo quella canonica non ci resta che scriverli come colonne della matrice
$M=((0,0,0),(2,-2,0),(0,0,3))$
(4) matrice associata a $T$ rispetto alle basi $E$ di partenza e $V$ di arrivo
Abbiamo già le immagini dei vettori di $E$, dobbiamo solo trovare le coordinate di queste rispetto alla base $V$; risolvendo sistemi analoghi ai precedenti troviamo
$T(e_1)=(0,0,0) rArr text(coord)_V(T(e_1))=(0,0,0)$
$T(e_2)=(0,2,0) rArr text(coord)_V(T(e_2))=(1,-1,0)$
$T(e_3)=(0,0,3) rArr text(coord)_V(T(e_3))=(0,0,3)$
Quindi
$M=((0,1,0),(0,-1,0),(0,0,3))$
(5) matrice del cambiamento di base da $V$ a $E$
Esattamente come hai fatto tu, scrivendo in colonna le coordinate dei vettori di $V$ rispetto alla base $E$
(6) matrice del cambiamento di base da $E$ a $V$
Scrivendo in colonna le coordinate dei vettori di $E$ rispetto alla base $V$ oppure, come hai fatto tu, calcolandoti la matrice inversa a quella trovata nel punto precedente.
Ok! Ora è effettivamente giusto (ho fatto delle verifiche, se vuoi te le posto)! Scusa ancora per l'errore!
$V={v_1=(1,1,0),v_2=(1,-1,0),v_3=(0,0,1)}$ è una base di $bbbR^3$
$E={e_1=(1,0,0),e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1)}$ è la base canonica di $bbbR^3$
$T$ è l'endomorfismo di $bbbR^3$ tale che
$T(v_1)=v_1-v_2=(0,2,0)$
$T(v_2)=-v_1+v_2=(0,-2,0)$
$T(v_3)=3v_3=(0,0,3)$
La regola è sempre la stessa: le colonne della matrice sono le coordinate delle immagini dei vettori della base di partenza rispetto alla base di arrivo.
(1) matrice associata a $T$ rispetto alle basi $V$ di partenza e $V$ di arrivo
Dato che le immagini dei vettori di $V$ sono già date come combinazioni lineari di $v_1,v_2,v_3$ abbiamo già i coefficienti, per cui resta solo da metterli in colonna
$M=((1,-1,0),(-1,1,0),(0,0,3))$
(2) matrice associata a $T$ rispetto alle basi $E$ di partenza e $E$ di arrivo
Ci servono le immagini dei vettori di $E$ per cui ricaviamo le coordinate di $e_1,e_2,e_3$ rispetto alla base $V$
$alpha v_1+beta v_2+gamma v_3=(alpha+beta,alpha-beta,gamma)$
$(alpha+beta,alpha-beta,gamma)=(1,0,0) rArr text(coord)_V(e_1)=(1/2,1/2,0)$
$(alpha+beta,alpha-beta,gamma)=(0,1,0) rArr text(coord)_V(e_2)=(1/2,-1/2,0)$
$(alpha+beta,alpha-beta,gamma)=(0,0,1) rArr text(coord)_V(e_3)=(0,0,1)$
Segue
$T(e_1)=T(1/2v_1+1/2v_2)=1/2T(v_1)+1/2T(v_2)=(0,0,0)$
$T(e_2)=T(1/2v_1-1/2v_2)=1/2T(v_1)-1/2T(v_2)=(0,2,0)$
$T(e_3)=T(v_3)=(0,0,3)$
Poichè la base di arrivo è quella canonica le coordinate delle immagini dei vettori della base di partenza coincidono con i vettori stessi e quindi
$M=((0,0,0),(0,2,0),(0,0,3))$
(3) matrice associata a $T$ rispetto alle basi $V$ di partenza e $E$ di arrivo
Abbiamo già le immagini dei vettori di $V$ ed essendo la base di arrivo quella canonica non ci resta che scriverli come colonne della matrice
$M=((0,0,0),(2,-2,0),(0,0,3))$
(4) matrice associata a $T$ rispetto alle basi $E$ di partenza e $V$ di arrivo
Abbiamo già le immagini dei vettori di $E$, dobbiamo solo trovare le coordinate di queste rispetto alla base $V$; risolvendo sistemi analoghi ai precedenti troviamo
$T(e_1)=(0,0,0) rArr text(coord)_V(T(e_1))=(0,0,0)$
$T(e_2)=(0,2,0) rArr text(coord)_V(T(e_2))=(1,-1,0)$
$T(e_3)=(0,0,3) rArr text(coord)_V(T(e_3))=(0,0,3)$
Quindi
$M=((0,1,0),(0,-1,0),(0,0,3))$
(5) matrice del cambiamento di base da $V$ a $E$
Esattamente come hai fatto tu, scrivendo in colonna le coordinate dei vettori di $V$ rispetto alla base $E$
(6) matrice del cambiamento di base da $E$ a $V$
Scrivendo in colonna le coordinate dei vettori di $E$ rispetto alla base $V$ oppure, come hai fatto tu, calcolandoti la matrice inversa a quella trovata nel punto precedente.
Ok! Ora è effettivamente giusto (ho fatto delle verifiche, se vuoi te le posto)! Scusa ancora per l'errore!
ma tu all'una e mezza ti sei messo a fare di nuovo sto esercizio!? dio cristo che figo che sei XD
ora è tutto perfettamente chiaro! ti ringrazio tantissimo dell'aiuto datomi
se abiti vicino al friuli ti devo offrire una birra assolutamente!!! grazie!
Luca
ora è tutto perfettamente chiaro! ti ringrazio tantissimo dell'aiuto datomi
se abiti vicino al friuli ti devo offrire una birra assolutamente!!! grazie!
Luca
"Della92":
ma tu all'una e mezza ti sei messo a fare di nuovo sto esercizio!? dio cristo che figo che sei XD
ora è tutto perfettamente chiaro! ti ringrazio tantissimo dell'aiuto datomi
se abiti vicino al friuli ti devo offrire una birra assolutamente!!! grazie!
Luca
Era mezzanotte e mezza e il fatto è che non volevo mettere a repentaglio la mia credibilità sul forum!
Non so se avrò l'occasione di riscuotere la birra che mi vuoi offrire, ma fai come se l'avessi già bevuta!
Ciao, alla prossima!
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