Convincetemi che una matrice diagonale è anche ortogonale
Non mi risulti sia vero...infatti la trasposta di una matrice diagonale è la matrice stessa, e $M^tM $ è uguale alla matrice diagonale con tutti gli elementi della diagonale elevati al quadrato...(cioè deve essere M=I)...
insomma, allora perchè mi si dice che cambiando base a un prodotto scalare la matrice associata al prodotto scalare (definito positivo) è anche ORTOGONALE?
insomma, allora perchè mi si dice che cambiando base a un prodotto scalare la matrice associata al prodotto scalare (definito positivo) è anche ORTOGONALE?
Risposte
Chiaramente sono ortogonali solo le matrici diagonali con entrate \(\pm 1\). Anche geometricamente ciò è ovvio: se ci sono entrate diverse stai operando qualche dilatazione o contrazione e questo modifica le distanze.
Forse lì si parla di matrice di cambiamento di base, non so, non sei stato chiaro.
Forse lì si parla di matrice di cambiamento di base, non so, non sei stato chiaro.
ma anche se fosse non tutte le matrici di cambiamento di base hanno entrate $\pm 1$...
No, aspetta, non farmi dire cose che non ho detto. Una matrice ortogonale può avere anche entrate diverse da 1 e -1. Se però è diagonale, allora essa è ortogonale se e solo se le sue entrate sono 1 e/o -1.
Detto questo, non si può rispondere al tuo dubbio perché non si capisce niente della citazione che hai fornito.
Detto questo, non si può rispondere al tuo dubbio perché non si capisce niente della citazione che hai fornito.
Per entrate intendi gli autovettori?
Ho un altra domanda. Viene dimostrato che se prendo una matrice (simmetrica), calcolo gli autospazi e per ciascuno di essi una base di autovettori, agganciando tutte le basi ottengo una base ortogonale di tutto lo Spazio.
Domanda: è detto che questa base ottenuta in questo modo sia anche normalizzata, cioè che per ogni v su ha $phi(v,v)=1$?
Ho un altra domanda. Viene dimostrato che se prendo una matrice (simmetrica), calcolo gli autospazi e per ciascuno di essi una base di autovettori, agganciando tutte le basi ottengo una base ortogonale di tutto lo Spazio.
Domanda: è detto che questa base ottenuta in questo modo sia anche normalizzata, cioè che per ogni v su ha $phi(v,v)=1$?
"newton_1372":Ma no, mannaggia alla miseria! Com'è che non ci stiamo capendo...? "Entrate" di una matrice è un altro modo per dire "elementi" di una matrice.
Per entrate intendi gli autovettori?
Ho un altra domanda. Viene dimostrato che se prendo una matrice (simmetrica), calcolo gli autospazi e per ciascuno di essi una base di autovettori, agganciando tutte le basi ottengo una base ortogonale di tutto lo Spazio.
Domanda: è detto che questa base ottenuta in questo modo sia anche normalizzata, cioè che per ogni v su ha $phi(v,v)=1$?
No, non è detto, a meno che le basi dei singoli autospazi non fossero già state normalizzate. Ma adesso che c'entra questo fatto? Il discorso di prima è pacifico o no? Non fare molto casino sennò non si capisce più niente.
Il discorso di prima mi sembra pacifico...io nei miei appunti ho trovato scritto che "la matrice associata alla nuova base" (quella ortonormale di autovettori) deve essere ortogonale...ma a quel punto ci capivo veramente poco a lezione, e le diapositive cambiavano al ritmo di una al petosecondo, quindi ci sta che sia un errore di copiatura...comunque riporto il ragionamento degli appunti.
Si parte dal risultato che esiste, se A è una matrice simmetrica, esiste una matrice M ortogonale tale che
$M^{-1}AM={^tM}AM=D$ con D diagonale. Interpreto A come un prodotto scalare nella base canonica. Cambio base al prodotto scalare (per diagonalizzare la matrice!). Poi c'è scritto
"La matrice associata al prodotto scalare nella nuova base è anche ortogonale".
La seconda domanda non ha attinenza con la prima, è un mio dubbio a parte...nasce sempre dagli appunti. Infatti mi viene descritto il seguente algoritmo per trovare una base spettrale. Per il teorema spettrale la base spettrale esiste. Calcolo gli autospazi della matrice. Basta calcolare una base in CIASCUNO DEGLI autospazi e appiccicarli. Verrà una base già ORTONORMALIZZATA...ovviamente quell'ORTONORMALIZZATA non mi andava giù...
Si parte dal risultato che esiste, se A è una matrice simmetrica, esiste una matrice M ortogonale tale che
$M^{-1}AM={^tM}AM=D$ con D diagonale. Interpreto A come un prodotto scalare nella base canonica. Cambio base al prodotto scalare (per diagonalizzare la matrice!). Poi c'è scritto
"La matrice associata al prodotto scalare nella nuova base è anche ortogonale".
La seconda domanda non ha attinenza con la prima, è un mio dubbio a parte...nasce sempre dagli appunti. Infatti mi viene descritto il seguente algoritmo per trovare una base spettrale. Per il teorema spettrale la base spettrale esiste. Calcolo gli autospazi della matrice. Basta calcolare una base in CIASCUNO DEGLI autospazi e appiccicarli. Verrà una base già ORTONORMALIZZATA...ovviamente quell'ORTONORMALIZZATA non mi andava giù...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo