[Algebra Lineare] Problema su spazio vettoriale

[Lory_91]

Salve a tutti!Ho iniziato oggi lo studio dell'algebra lineare e ho già qualche problema nella risoluzione di alcuni esercizi. In particolare, non riesco ad impostare gli esercizi che richiedono se un insieme sia uno spazio vettoriale. Vi posto il seguente esercizio tratto dalla dispensa del mio professore:
Sia $I= (-\pi/2 , \pi/2)$ e sia $arctg$ la determinazione dell'arcotangente a valori in $I$; in $I$ si ponga: $\alpha + \beta = arctg (tg \alpha + tg \beta)$, $AA \alpha, \beta in I $.
$r*\alpha = arctg (r*tg\alpha)$, $AA r in RR, AA \alpha in I $;
Si provi che $I$ con la somma e il prodotto è uno spazio vettoriale su $RR$.

Metterei una mia tentata risoluzione ma il problema è proprio il non sapere da dove cominciare. Grazie a tutti per l'eventuale aiuto!

[Lory_91]

Nessuno può darmi una mano?

[daniele912]

Non so rispondere e quindi risolvere l'esercizio ma sono interessato anche io alla sua risoluzione. Speriamo nella risposta di qualcuno!

[daniele912]

Up!

[dissonance]

In pratica il prof ha introdotto una corrispondenza biunivoca \(I \leftrightarrow \mathbb{R}\) e trasportato le operazioni di \(\mathbb{R}\) su \(I\). Comunque, per risolvere l'esercizio occorre verificare "a mano" tutti gli assiomi di spazio vettoriale. Vediamo ad esempio perché vale la proprietà distributiva del prodotto. Se \(r \in\mathbb{R}, \alpha, \beta \in I\) allora \[r(\alpha+\beta)=\arctan(r\tan(\arctan(\tan \alpha+ \tan \beta)))=\arctan(r(\tan \alpha + \tan\beta))=\]\[\arctan(r \tan \alpha + r \tan \beta)=r \alpha + r\beta.\]

[Lory_91]

Avrei una domanda..invece di fare il tuo secondo passaggio non posso direttamente moltiplicare $r$ ad $arctan(tan\alpha + tan\beta)$? Quindi basta che verifico tutte le proprietà di cui gode lo spazio vettoriale proprio come si fa per vedere se un insieme è sottospazio di uno spazio vettoriale..Grazie:)

[dissonance]

Non puoi direttamente moltiplicare \(r\) ad \(\arctan (\ldots)\) perché la moltiplicazione è definita in modo diverso. Per definizione, la scrittura \(r(\alpha + \beta)\) significa infatti \(\arctan(r\tan(\arctan (\ldots)))\).

[Lory_91]

Ah ok grazie!Ora ho capito:)proverò a finire l'esercizio. Grazie ancora:)

[daniele912]

Stavo cercando di dimostrare la proprietà associativa della somma e l'esistenza dell'elemento neutro per la somma:

$ (\alpha + \beta) + \gamma = arctan (tan\alpha + tan\beta) + arctan(tan\gamma) = arctan(tan\alpha) + arctan(tan\beta) + arctan(tan\gamma) = \alpha + (\beta + \gamma)$

$(\alpha + \beta) + 0 = arctan(tan\alpha + tan\beta) + arctan(tan0) = 0 + (\alpha + \beta) $

Svolgendo questo esercizi ho come l'impressione di farmeli uscire "per forza".