Determinare matrice con proprietà del determinante

[onizuka89]

Salve a tutti, ho provato a cercare nel forum, ma non ho trovato nulla, io ho questo esercizio:
Si indichi una matrice $ A in R^(3x3) $ verificante le proprietà:

$ V = { x in R^3 : 3x1 + 5x2 -x3 = 0 } $ e $ W= ( ( 3 ),( 5 ),( -1 ) ) $ sono entrambi auto spazi di A

$ A^2 = 5I $

Io ho fatto in questo modo:
Ho trovato una base di V

$ V =(: ( ( 1 ),( 0 ),( 3 ) ) ; ( ( 0 ),(1),( 5 ) ):) $

Poi ho fatto in maniera che gli autovalori siano $ sqrt(5) $ con molteplicità 2 e $ -sqrt(5) $ in pratica avrei:

$ A((1),(0),(3)) = sqrt(5) ((1),(0),(3)); $ $A((0),(1),(5)) = sqrt(5) ((0),(1),(5)); $ $A((3),(5),(-1)) = -sqrt(5) ((3),(5),(-1))$

Ora, io devo trovare la matrice A, pensavo di cercare le colonne di A sfruttando l'applicazione $ La(x) $ nella base canonica, ma il professore ha detto che vuole che io trovi a sfruttando le proprietà del determinante, e quindi ora nn mi viene in mente niente, come posso fare?

Grazie

[StefanoViareggio]

Mi pare che tu abbia finito, hai 3 autovettori linearmente indipendenti,3 autovalori.

Scrivi la matrice A come forma BDB^-1 attenzione a come posizioni gli autovalori rispetto agli autovettori