Matrice associata all'endomorfismo

[geometria66]

dati
$p_1=t^2+3t, p_2=t^-t, p_3=t^-2t+2$

scrivere la matrice associata all'endomorfismo T tale che $Tp_1=t^2, Tp_2=t^2-t-1, Tp_3=2t+2$ rispetto a una base a scelta

abbiamo

$T((0),(3),(1))$ = $((0),(0),(1))$ $T((0),(-1),(1))$=$((-1),(-1),(1))$ $T((2),(-2),(1))$=$((2),(2),(0))$

studio i tre sistemi

$\{(2z= 1),(3x-y-2z = 0),(x+y+z = 0):}$ $\{(x=1/8),(y=-5/8),(z=1/2):}$

$\{(2z= 0),(3x-y-2z = 1),(x+y+z = 0):}$ $\{(x=1/4),(y=-1/4),(z=0):}$

$\{(z= 0),(3x-y-2z = 0),(x+y+z = 1):}$ $\{(x=1/4),(y=3/4),(z=0):}$

ora mi ricavo la matrice

T$((1),(0),(0))$ = 1/8 $((0),(0),(1))$ -5/8 $((-1),(-1),(1))$ +1/2$ ((2),(2),(0))$
faccio lo stesso con i valori x,y,z del secondo e terzo sistema e mi ricavo la matrice

$((13/8,13/8,-1/2),(1/4,1/4,0),(-3/4,-3/4,1))$

[geometria66]

ho visto un esercizio uguale che però per trovare la matrice associata si ferma alla risoluzione dei tre sistemi senza poi fare l'ultimo passaggio.

com'è corretto? grazie mille

[geometria66]

la matrice T è diagonalizzabile giusto?

perchè ho tre autovalori distinti e tutti e tre di molt. alg e geom. =1