$\Appl(X,V)$

[delbi]

Non so proprio da che parte iniziare con questo esercizio teorico di geometria:
"Sia $X$ un insieme, $V$ un $K$-spazio vettoriale e $\Appl(X,V)$ l'insieme di tutte le applicazioni $f:X \to V$.Dimostrare che $\Appl(X,V)$ è uno spazio vettoriale, con la seguente somma e moltiplicazione scalare:
$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$, $(\lambda f)(x)=\lambda f(x)$
$f,g\in Appl(X,V)$."

[dissonance]

Non è possibile dare alcun suggerimento. Questo esercizio è un prototipo: ti è assegnato un insieme, su cui sono definite due operazioni, e ti si chiede di verificare gli assiomi di spazio vettoriale. Devi saperlo fare. Hai sicuramente già verificato gli assiomi di spazio vettoriale per qualche altro insieme, ad esempio per \(\mathbb{R}^n\). Cerca di mimare quanto già fatto per il caso in esame.

[delbi]

allora devo verificare le solite 4 proprietà:

i) $\mu(\lambda f)(x) = \mu \lambda f(x) = \lambda (\mu f)(x)$
ii) $(1* f)(x) = 1* f(x)$
iii) $ ((\mu + \lambda )(f))(x) = ((\mu f) + (\lambda f))(x) = (\mu f)(x) + (\lambda f)(x) = \muf(x) + \lambdaf(x)$
iv) $ (\lambda(f + g))(x) = ((\lambda f) + (\lambda g))(x) = (\lambda f)(x) + (\lambda g)(x) = \lambda f(x) + \lambda g(x)$

cosi va bene o manca qualcosa?

[dissonance]

E si, questo devi fare. Mi pare vada bene. E' importante che tu capisca bene il concetto, comunque, più che l'esercizio in sé che è banale.