Rotazioni in $bbbR^3$
Facendo tutt'altro mi son reso conto di aver seri problemi con le rotazioni nello spazio. Nello specifico volevo ruotare il piano $x+y+z=3$ in modo da renderlo parallelo al piano $xy$ ottenendo un'equazione del tipo $z=text(costante)$; la trasformazione cercata è data dunque dalla combinazione di una rotazione di $pi/4$ attorno all'asse $z$ e di una rotazione sempre di $pi/4$ attorno all'asse $x$. Dunque preso il vettore $n=(1,1,1)$ che rappresenta la direzione normale al piano $x+y+z=3$ le due rotazioni dovrebbero darmi un vettore diretto lungo l'asse $z$. Detto questo procedo con i calcoli
rotazione attorno all'asse $z$
$((1/sqrt2,-1/sqrt2,0),(1/sqrt2,1/sqrt2,0),(0,0,1)) ((1),(1),(1))=((0),(sqrt2),(1))$
rotazione attorno all'asse $x$
$((1,0,0),(0,1/sqrt2,-1/sqrt2),(0,1/sqrt2,1/sqrt2))((0),(sqrt2),(1))=((0),(0),(sqrt2))$
e quindi il risultato mi incoraggia a pensare di aver svolto tutto correttamente. Voi che dite?
Inoltre mi restano comunque dei dubbi
(1) nella seconda rotazione parto dal vettore $(0,sqrt2,1)$ di norma $sqrt3$ e trovo il vettore $(0,0,sqrt2)$ di norma $sqrt2$; ma la rotazione, che è un'isometria, non dovrebbe conservare la norma?
(2) se chiamo $A$ la matrice associata alla prima rotazione e $B$ quella associata alla seconda, potrei calcolarmi direttamente la matrice associata alla composizione come $BA$; provando a fare i calcoli però i conti non tornano: possibile?
Ringrazio anticipatamente chi risponderà. So che non dovrebbero essere cose difficili, ma mi sento piuttosto confuso.
rotazione attorno all'asse $z$
$((1/sqrt2,-1/sqrt2,0),(1/sqrt2,1/sqrt2,0),(0,0,1)) ((1),(1),(1))=((0),(sqrt2),(1))$
rotazione attorno all'asse $x$
$((1,0,0),(0,1/sqrt2,-1/sqrt2),(0,1/sqrt2,1/sqrt2))((0),(sqrt2),(1))=((0),(0),(sqrt2))$
e quindi il risultato mi incoraggia a pensare di aver svolto tutto correttamente. Voi che dite?
Inoltre mi restano comunque dei dubbi
(1) nella seconda rotazione parto dal vettore $(0,sqrt2,1)$ di norma $sqrt3$ e trovo il vettore $(0,0,sqrt2)$ di norma $sqrt2$; ma la rotazione, che è un'isometria, non dovrebbe conservare la norma?
(2) se chiamo $A$ la matrice associata alla prima rotazione e $B$ quella associata alla seconda, potrei calcolarmi direttamente la matrice associata alla composizione come $BA$; provando a fare i calcoli però i conti non tornano: possibile?
Ringrazio anticipatamente chi risponderà. So che non dovrebbero essere cose difficili, ma mi sento piuttosto confuso.
Risposte
"marco.bre":
Facendo tutt'altro mi son reso conto di aver seri problemi con le rotazioni nello spazio. Nello specifico volevo ruotare il piano $x+y+z=3$ in modo da renderlo parallelo al piano $xy$ ottenendo un'equazione del tipo $z=text(costante)$; la trasformazione cercata è data dunque dalla combinazione di una rotazione di $pi/4$ attorno all'asse $z$ e di una rotazione sempre di $pi/4$ attorno all'asse $x$. Dunque preso il vettore $n=(1,1,1)$ che rappresenta la direzione normale al piano $x+y+z=3$ le due rotazioni dovrebbero darmi un vettore diretto lungo l'asse $z$. Detto questo procedo con i calcoli
rotazione attorno all'asse $z$
$((1/sqrt2,-1/sqrt2,0),(1/sqrt2,1/sqrt2,0),(0,0,1)) ((1),(1),(1))=((0),(sqrt2),(1))$
rotazione attorno all'asse $x$
$((1,0,0),(0,1/sqrt2,-1/sqrt2),(0,1/sqrt2,1/sqrt2))((0),(sqrt2),(1))=((0),(0),(sqrt2))$
e quindi il risultato mi incoraggia a pensare di aver svolto tutto correttamente. Voi che dite?
La prima rotazione su $z$ va bene, ma la seconda no.
L'angolo della seconda rotazione non è $\pi/4$. Lascio a te di ri-pensare a quanto è .
Inoltre mi restano comunque dei dubbi
(1) nella seconda rotazione parto dal vettore $(0,sqrt2,1)$ di norma $sqrt3$ e trovo il vettore $(0,0,sqrt2)$ di norma $sqrt2$; ma la rotazione, che è un'isometria, non dovrebbe conservare la norma?
Si infatti conserva la norma. Hai fatto degli errori nei calcoli
.La componente $y$ si vede ad occhio che non può essere zero.
(2) se chiamo $A$ la matrice associata alla prima rotazione e $B$ quella associata alla seconda, potrei calcolarmi direttamente la matrice associata alla composizione come $BA$; provando a fare i calcoli però i conti non tornano: possibile?
Certo che puoi fare direttamente la composizione. Riguarda il tutto a questo punto.
Ringrazio anticipatamente chi risponderà. So che non dovrebbero essere cose difficili, ma mi sento piuttosto confuso.
Grazie Quinzio! Allora, per la seconda rotazione non capisco cosa c'è che non va, nel senso: l'angolo di una rotazione è antiorario cioè destrorso rispetto alla direzione uscente dell'asse $x$, per cui dovrebbe essere ok in quanto la matrice associata ad una rotazione di un angolo $theta$ attorno all'asse $x$ è
$((1,0,0),(0, cos(theta),-sin(theta)),(0,sin(theta),cos(theta)))$.
Guardando questa pagina di wikipedia
http://it.wikipedia.org/wiki/Rotazione_%28matematica%29
vedo che nell'immagine relativa alle rotazioni nello spazio le frecce che indicano la rotazione sono al contrario di come le metterei io e non ne capisco il motivo! Mi verebbe quindi da concludere che quella che ho scritto io è la matrice di una rotazione di $-pi/4$ attorno all'asse $x$ ma a questo punto ti chiederei gentilmente di spiegarmi il motivo!
Per gli errori di calcolo mi limito ad imbarazzarmi e a giustificare i miei errori dicendo che sono stati causati dallo sconforto: sai trovare un controesempio alla composizione di funzioni mediante matrici associate può essere sconcertante!!!
$((1,0,0),(0, cos(theta),-sin(theta)),(0,sin(theta),cos(theta)))$.
Guardando questa pagina di wikipedia
http://it.wikipedia.org/wiki/Rotazione_%28matematica%29
vedo che nell'immagine relativa alle rotazioni nello spazio le frecce che indicano la rotazione sono al contrario di come le metterei io e non ne capisco il motivo! Mi verebbe quindi da concludere che quella che ho scritto io è la matrice di una rotazione di $-pi/4$ attorno all'asse $x$ ma a questo punto ti chiederei gentilmente di spiegarmi il motivo!
Per gli errori di calcolo mi limito ad imbarazzarmi e a giustificare i miei errori dicendo che sono stati causati dallo sconforto: sai trovare un controesempio alla composizione di funzioni mediante matrici associate può essere sconcertante!!!
Ho provato a fare la rotazione di $-pi/4$, ma non funziona. Inoltre pensavo: se $(1,1,1)$ dopo la prima rotazione va in $(0.sqrt2,1)$, per raddrizzarlo lungo l'asse $z$ devo compiere una rotazione di un angolo pari al complementare dell'angolo tra il vettore $(0.sqrt2,1)$ e l'asse $y$, ossia $arctan(1/sqrt2)$?
"marco.bre":
Ho provato a fare la rotazione di $-pi/4$, ma non funziona. Inoltre pensavo: se $(1,1,1)$ dopo la prima rotazione va in $(0.sqrt2,1)$, per raddrizzarlo lungo l'asse $z$ devo compiere una rotazione di un angolo pari al complementare dell'angolo tra il vettore $(0.sqrt2,1)$ e l'asse $y$, ossia $arctan(1/sqrt2)$?
Ovvero una rotazione pari all'angolo tra la normale al piano e l'asse z. Mi sembra più "ovvio" detto cosi'.
E come fai a calcolare l'angolo ? Non va bene.
"Quinzio":
Ovvero una rotazione pari all'angolo tra la normale al piano e l'asse z. Mi sembra più "ovvio" detto cosi'.
E come fai a calcolare l'angolo ? Non va bene.
L'angolo convesso tra due vettori $u,v$ è $arccos((
$arccos((<(1,1,1),(0,0,1)>)/(||(1,1,1)||||(0,0,1)||))=arccos(1/sqrt3)$
Ecco, quello è l'angolo corretto.
Ricapitolando, ho il vettore $n=(1,1,1)$ normale al piano. L'angolo $alpha$ tra la proiezione di $n$ sul piano $xy$ e l'asse $y$ è dato da
$alpha=arccos((<(1,1,0),(0,1,0)>)/(|(1,1,0)| |(0,1,0)|))=arccos(1/sqrt2)=pi/4$
per cui la prima rotazione è data da
$R^z_pi/4=((1/sqrt2,-1/sqrt2,0),(1/sqrt2,1/sqrt2,0),(0,0,1))((1),(1),(1))=((0),(sqrt2),(1))$
L'angolo $beta$ tra il vettore $(0,sqrt2,1)$ e l'asse $z$ è dato da
$beta=arccos((<(0,sqrt2,1),(0,0,1)>)/(|(0,sqrt2,1)| |(0,0,1)|))=arccos(1/sqrt3)$
per cui, osservando che $sin(arccos(1/sqrt3))=sqrt(1-(1/sqrt3)^2)=sqrt2/sqrt3$, la seconda rotazione è data da
$R^x_arccos(1/sqrt3)=((1,0,0),(0,1/sqrt3,-sqrt2/sqrt3),(0,sqrt2/sqrt3,1/sqrt3))((0),(sqrt2),(1))=((0),(0),(sqrt3))$
Dunque l'isometria cercata è data dalla composizione delle due rotazioni
$psi=((1,0,0),(0,1/sqrt3,-sqrt2/sqrt3),(0,sqrt2/sqrt3,1/sqrt3))((1/sqrt2,-1/sqrt2,0),(1/sqrt2,1/sqrt2,0),(0,0,1))=((1/sqrt2,-1/sqrt2,0),(1/sqrt6,1/sqrt6,-sqrt2/sqrt3),(1/sqrt3,1/sqrt3,1/sqrt3))$
Tornando al piano $p:x+y+z=3$, poichè $(1,1,1) in p$ e $psi(1,1,1)=(0,0,sqrt3)$, posso concludere che l'immagine di $p$ attraverso $psi$ è il piano passante per $(0,0,sqrt3)$ e parallelo al piano $xy$, ossia $z=sqrt3$.
$alpha=arccos((<(1,1,0),(0,1,0)>)/(|(1,1,0)| |(0,1,0)|))=arccos(1/sqrt2)=pi/4$
per cui la prima rotazione è data da
$R^z_pi/4=((1/sqrt2,-1/sqrt2,0),(1/sqrt2,1/sqrt2,0),(0,0,1))((1),(1),(1))=((0),(sqrt2),(1))$
L'angolo $beta$ tra il vettore $(0,sqrt2,1)$ e l'asse $z$ è dato da
$beta=arccos((<(0,sqrt2,1),(0,0,1)>)/(|(0,sqrt2,1)| |(0,0,1)|))=arccos(1/sqrt3)$
per cui, osservando che $sin(arccos(1/sqrt3))=sqrt(1-(1/sqrt3)^2)=sqrt2/sqrt3$, la seconda rotazione è data da
$R^x_arccos(1/sqrt3)=((1,0,0),(0,1/sqrt3,-sqrt2/sqrt3),(0,sqrt2/sqrt3,1/sqrt3))((0),(sqrt2),(1))=((0),(0),(sqrt3))$
Dunque l'isometria cercata è data dalla composizione delle due rotazioni
$psi=((1,0,0),(0,1/sqrt3,-sqrt2/sqrt3),(0,sqrt2/sqrt3,1/sqrt3))((1/sqrt2,-1/sqrt2,0),(1/sqrt2,1/sqrt2,0),(0,0,1))=((1/sqrt2,-1/sqrt2,0),(1/sqrt6,1/sqrt6,-sqrt2/sqrt3),(1/sqrt3,1/sqrt3,1/sqrt3))$
Tornando al piano $p:x+y+z=3$, poichè $(1,1,1) in p$ e $psi(1,1,1)=(0,0,sqrt3)$, posso concludere che l'immagine di $p$ attraverso $psi$ è il piano passante per $(0,0,sqrt3)$ e parallelo al piano $xy$, ossia $z=sqrt3$.
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