Curvatura Gaussiana sulla Bottiglia di Klein
Buongiorno a tutti,
ho un dubbio: scelta localmente un' orientazione (ovvero scelto un segno per la normale), posso ad occhio (ie. senza calcolare I e II forma) capire il segno della curvatura gaussiana di un determinato punto della nostra bottiglia di Klein?
A mio parere la risposta è sì, ma vorrei sapere se le mie ragioni sono fondate. Esse sono:
i)La bottiglia di Klein è una superficie topologica.
ii)Per qualsiasi altra superficie (a parte il piano proiettivo) sappiamo dire ad occhio se un punto è ellittico o iperbolico o ancora piano o parabolico (sempre dopo aver scelto l'orientazione)
iii)La curvatura gaussiana è intrinseca (quindi è uguale in qualsiasi dimensione $n >= 3$ per qualsiasi embedding, ma non per qualsiasi immersione e questo è il nodo di gordo del problema)
In definitiva: è possibile che un punto palesemente ellittico di una superficie immersa in $\mathbb{R}^3$ possa diventare iperbolico in $\mathbb{R}^4$?
Grazie in anticipo
ho un dubbio: scelta localmente un' orientazione (ovvero scelto un segno per la normale), posso ad occhio (ie. senza calcolare I e II forma) capire il segno della curvatura gaussiana di un determinato punto della nostra bottiglia di Klein?
A mio parere la risposta è sì, ma vorrei sapere se le mie ragioni sono fondate. Esse sono:
i)La bottiglia di Klein è una superficie topologica.
ii)Per qualsiasi altra superficie (a parte il piano proiettivo) sappiamo dire ad occhio se un punto è ellittico o iperbolico o ancora piano o parabolico (sempre dopo aver scelto l'orientazione)
iii)La curvatura gaussiana è intrinseca (quindi è uguale in qualsiasi dimensione $n >= 3$ per qualsiasi embedding, ma non per qualsiasi immersione e questo è il nodo di gordo del problema)
In definitiva: è possibile che un punto palesemente ellittico di una superficie immersa in $\mathbb{R}^3$ possa diventare iperbolico in $\mathbb{R}^4$?
Grazie in anticipo
Risposte
Nessuno? Nessunissima idea?
Dovresti riuscire a darti una risposta semplicemente scrivendoti la definizione di punti ellittici ed iperbolici e valutando se ci sono casi in cui si presenti una tale eventualità.
Ah, e si dice "Nodo di Gordio"!
http://it.wikipedia.org/wiki/Nodo_di_Gordio
Ah, e si dice "Nodo di Gordio"!
http://it.wikipedia.org/wiki/Nodo_di_Gordio
E' proprio di Gordio!
Ma per quanto riguarda i punti ellittici (risp iperbolici), la definizione è proprio che la curvatura gaussiana è positiva (risp negativa) nel punto. Ma non so come calcolarla, ovvero:
posso calcolare prima e seconda forma fondamentale su una parametrizzazione in $\mathbb{R}^3$ o devo farla in $\mathbb{R}^4$? Non sono neanche sicuro che siano definite in dimensione 4
Ma per quanto riguarda i punti ellittici (risp iperbolici), la definizione è proprio che la curvatura gaussiana è positiva (risp negativa) nel punto. Ma non so come calcolarla, ovvero:
posso calcolare prima e seconda forma fondamentale su una parametrizzazione in $\mathbb{R}^3$ o devo farla in $\mathbb{R}^4$? Non sono neanche sicuro che siano definite in dimensione 4
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