Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Per curiosità sono andato a leggermi che cosa dice questo teorema dal nome strano.
Su Wikipedia ho trovato questo:
Teorema Spettrale. Sia T un endomorfismo su uno spazio vettoriale reale V di dimensione n, dotato di un prodotto scalare. Allora T è autoaggiunto [size=85][Wikipedia dice: Un operatore simmetrico definito ovunque è detto autoaggiunto][/size] se e solo se esiste una base ortonormale di V fatta di autovettori per T. L'endomorfismo T è quindi diagonalizzabile.
Però questo mi ricorda ...
Sto studiando analisi II, nello studio dei max e min relativi, sul libro (sbordone) ho notato che sotto il grafico della funzione:
$f(x,y) = xy$
c'è scritto che la superficie è rigata.
Non so cosa sia una superficie rigata, ho visto la definizione che c'è su wiki, ma non riesco ad estrapolare nulla che possa servirmi nella mia domanda e cioè: come faccio a dimostrare che una funzione genera una superfice rigata?
$ ( ( k,1,1 ),( 1,k,1),( 1,1,k ) ) $
a me il polinomio caratteristico viene
(k-t)[(k-t)ˆ2-1]
ma vedendo un esercizio svolto sembra che sia errato....
voi che dite?
Qualcuno sa indicarmi come si può calcolare la minima distanza tra un piano e una retta (sghemba con esso) in $E^4$ ?
Ciao. Se ho una matrice $2xx2$, $A$, perché se faccio $trnablanablaA=DeltaA$? ($Delta=$Laplaciano)
Grazie.
$ ( ( 1,0,0 ),( a,0,b ),( 1,b,0) )$
per quali valori di a e b la matrice è diagonalizzabile?
allora sto risolvendo cosi'
$ ( ( 1-t,0,0),( a,-t,b),( 1,b,-t ) )$
e il suo determinante è
$ (t)^(2) (1-t)-(b)^(2) (1-t) $
e ora che faccio?
ovvero
$ ((t)^(2) -(b)^(2) )(1-t) $
il problema mi dà tre vettori
u= (k,-1,1)
v=(3,-3,k)
w=(1,-k,k)
e chiede di trovare i valori di k tali che x=(1,-1,1) sia combinazione lineare degli altri 3 vettori.
ho cercato di impostare una matrice partendo da questa equazione:
x1 u + x2 v + x3 w = x con x1,x2,x3 scalari...
e poi che su fa?
Ciao, domani ho l'esame e riguardando gli esercizi in preparazione ho incontrato questo problema:
Sia $A=((-1,-1),(-1,-1))$ e sia $ f in End(RR^2) $ definito da $f(X)=AXA$ [...]
L'esercizio poi chiede diverse cose ma io non riesco a scrivere l'applicazione lineare, infatti:
$AX=((-x-y),(-x-y))$ che è un vettore no? Ecco ora dovrei fare $AXA=((-x-y),(-x-y))*((-1,-1),(-1,-1))$ operazione che risulta impossibile. Vi prego illuminatemi!
Ciao a tutti! Avrei un problema con questo esercizio:
Ho una retta $r$ data dall'intersezione dei piani $x-z=0$ e $x-y-1=0$
Una retta $s$ data da $x=1$ $y=t$ $z=2t-1$
e un piano $u:x+y-z=0$
una delle domande è trovare il punto di intersezione tra $r$ e $u$ e ho trovato P(1,0,1). dopo mi chiede di trovare una retta $t$ di $u$ incidente ...
Salve, ho questo sistema e devo determinare la dimensione e una base.
$x_1+x_3-x_4=0$
$3x_1-x_2+3x_3-4x_4=0$
$-2x_2-2x_4=0$
cosa devo fare?
devo determinare la matrice associata, calcolare il rango??
per la dimensione devo usare la formula (numero incognite)-(rango)????
mi aiutate?
TRACCIA:
si consideri lo spazio vettoriale R^4 con il prod. scalare standard.
si considerino i vettori :
v1 = (0,1,-1,0) v2=(1,0,1,0) v3=(0,0,1,0) v4=(0,0,0,-1)
riferiti alla base canonica C = {e1,e2,e3,e4} .
SI DIMOSTRI CHE B={v1,v2,v3,v4} è una base;
e che la matrice P del cambiamento di base X B( con B al pedice) = P X C(con C al pedice).
per il primo punto nn ci sono problemi... l'indipendenza si dimostra o con il metodo degli scarti successivi o mettendo in colonna i vari ...
In generale data l'equazione di una quadrica in uno spazio proiettivo come faccio a ottenerne la traccia affine ?
Sia $(v,h)$ uno spazio Hermitiano e sia $f in End(V)$ sono fatti equivalenti:
- $f$ è normale;
- esiste una base di $V$ h-ortonormale costituita da autovettori di $f$.
Mi è chiaro che se $V$ ha dimensione 1 non c'è niente da dimostrare perché tutte le matrici di ordine 1 sono diagonali.
Se suppongo il teorema vero per sapzi di dimensione $n-1$ questo sarà valido per induzione anche per spazi di dimensione ...
Sia $K_1 sup K_2 sup....$ una catena discendente numerabile di chiusi e compatti non vuoti di uno spazio topologico.
Allora $nn {K_n|n in NN}!=O/$
Dimostrazione:
per ogni $n in NN $ l'insieme $K_1-K_n$ è aperto in $K_1$.
Basta adesso osservare che l'intersezione dei chiusi $K_n$ è vuota se e solo se gli aperti $K_1-K_n$ formano un ricoprimento aperto di $K_1$ e si ha la tesi perchè questo ricoprimento non ammette un sottoricoprimento aperto ...
Ciao a tutti, ho questo problemino da porvi. Io so che una base di uno spazio vettoriale risulta essere per definizione un insieme $ B=(v_1,...v_n) $ di elementi appartenenti a V in cui B è ordinato, libero e genera V. Ne consegue che una base è sempre un insieme di generatori, mentre il viceversa non è sempre vero. Se mi dovesse capitare un esercizio del tipo: "Dato un sottospazio vettoriale W, trovare i vettori generatori del sottospazio", potrei procedere con il calcolare la base e poi dire ...
Qual è la formula per il calcolo del prodotto di tre matrici?
Ho visto farlo senza dover calcolare il prodotto delle prime due e poi per la terza, quindi penso ci sia un metodo piu veloce, no?
Salve a tutti ragazzi,
ho un problema con questo esercizio.
Data la sfera $S$ di equazione $S:x^2+y^2+z^2-2x+2z-2=0$
Trovare la retta $r$ tangente ad $S$ nel punto $P(1,2,-1)$ e parallela al piano $alpha:3y+z+1=0$
Allora, io ho trovato che la retta $r$ è contenuta nel piano $pi$ passante per $P$ e tangente la sfera $S$.
Ove dopo alcuni calcoli tro $pi:3x+5y-z-14=0$
Come continuare?
Grazie mille ...
Salve a tutti ragazzi,
Ho un dubbio su come procedere nel seguente esercizio.
SI considerino i seguenti sottospazi di $RR^4$
$E=L((-1,4,1,0),(1,4,-1,0),(1,-2,1,0))$ ed $F=L((0,4,-1,-1),(0,4,1,1),(2,-2,-1,-1))$
Determinare una base di $E nn F$
Allora io procedo così
$(x,y,z,t) in E hArr EE a,b,c in RR t.c. (x,y,z,t)=a(-1,4,1,0)+b(1,4,-1,0)+c(1,-2,1,0)=(-a+b+c,4a+4b-2c,a-b+c,0)$
Ottendo ${(x=-a+b+c),(y=4a+4b-2c),(z=a-b+c),(t=0):}$
Idem
$(x,y,z,t) in F hArr EE a',b',c' in RR t.c. (x,y,z,t)=a'(0,4,-1,-1)+b'(0,4,1,1)+c'(2,-2,-1,-1)=(2c',4a'+4b'-2c',-a'+b'-c',-a'+b'-c')$
Ottendo ${(x=2c'),(y=4a'+4b'-2c'),(z=-a'+b'-c'),(t=-a'+b'-c'):}$
Ora, come continuare (nel modo più semplice)?
Devo per forza prendere $a',b',c'$ diversi da $a,b,c$?
Grazie mille
Vito L
Salve a tutti, sto avendo dei problemi con alcuni esercizi riguardanti gli endomorfismi, infatti alcuni esercizi (molto rari) richiedono non solo di trovare i valori di h per i quali l'endomorfismo sia diagonalizzabile, ma richiedono di trovare una base per il kerf e imf.
fh : R3 : (x + y + z; hy + 2z; z)
la prima parte dell'esercizio l'ho svolta senza alcun problema (viene h=3 per avere un endomorf. diagonalizzabile).
La seconda e la terza però non ho la più pallida idea di come si svolgano, ...
Salve a tutti sono di nuovo qui con un nuovo dubbio sulle matrici,qui di sotto espongo il problema
Si dica se la seguente matrice a coefficienti reali è diagonalizzabile per similitudine e in caso affermativo si determini una matrice diagonale simile ad A
$((7,1,1,1),(0,-11,0,0),(7,3,3,2),(0,1,-2,-1))$
Ora per la prima parte è molto semplice,mi calcolo gli autovalori prima e poi le molteplicità algebriche/geometriche e se queste sono identiche e se sommate(o le una o le altre) danno n allora la risposta è positiva.
Dai ...
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