Teorema spettrale?

[Sk_Anonymous]

Per curiosità sono andato a leggermi che cosa dice questo teorema dal nome strano.
Su Wikipedia ho trovato questo:

Teorema Spettrale. Sia T un endomorfismo su uno spazio vettoriale reale V di dimensione n, dotato di un prodotto scalare. Allora T è autoaggiunto [size=85][Wikipedia dice: Un operatore simmetrico definito ovunque è detto autoaggiunto][/size] se e solo se esiste una base ortonormale di V fatta di autovettori per T. L'endomorfismo T è quindi diagonalizzabile.

Però questo mi ricorda tantissimo un risultato ottenuto al corso di Geometria Affine:

Proposizione. Sia \(V\) uno spazio vettoriale [size=85][il professore ha detto che, se non diversamente specificato, in questo suo corso sottointende sempre "finito dimensionale"][/size] dotato di prodotto scalare. Allora l'endomorfismo simmetrico \(f: V \rightarrow V\) è diagonalizzabile e diagonalizzabile ortogonalmente.

Wikipedia aggiunge, poi:

In particolare, gli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti reali.

E il professore:

Proposizione. Sia \(f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n\) un endomorfismo simmetrico. Allora gli autovalori di \(f\) sono tutti reali.

Non riesco a non notare le somiglianze tra queste cose. Quello che mi chiedo è: poiché il professore non ci ha minimamente accennato a questo "teorema spettrale", i risultati presumo siano cose diverse... Solo che mi sfugge quale sia la diversità. L'unica differenza che riesco a notare è che il mio professore ha parlato solo di endomorfismi e non di applicazioni lineari qualsiasi...
Quali sono le differenze?
Grazie a tutti!

[Seneca1]

Un endomorfismo si chiama anche operatore e, per quanto ne so, simmetrico e autoaggiunto sono sinonimi.

In sostanza la Proposizione che ha dato il tuo professore è la direzione interessante del Teorema spettrale.

[Sk_Anonymous]

"Sergio":[quote="giuliofis"]Non riesco a non notare le somiglianze tra queste cose. Quello che mi chiedo è: poiché il professore non ci ha minimamente accennato a questo "teorema spettrale", i risultati presumo siano cose diverse...

Perché il teorema spettrale è più generale e si applica a spazi vettoriali complessi, di cui quelli reali sono un caso particolare.

"giuliofis":Solo che mi sfugge quale sia la diversità. L'unica differenza che riesco a notare è che il mio professore ha parlato solo di endomorfismi e non di applicazioni lineari qualsiasi... Quali sono le differenze?

Un'applicazione lineare qualsiasi è del tipo $T:V to W$ dove $V$ e $W$ sono spazi vettoriali anche diversi, anche di diversa dimensione; se le dimensioni sono diverse, la matrice associata rispetto qualsiasi coppia di basi non è quadrata, quindi il teorema spettrale non può trovare applicazione.
Invece, dato uno spazio vettoriale reale $V$, l'applicazione lineare $T:V to V$ è un endomorfismo (che vuol dire: un'applicazione da $V$ in se stesso) e si dice anche che $T$ è un operatore lineare. In questo caso la matrice associata è quadrata.
Se questa matrice è anche simmetrica, e se $V$ è dotato di un prodotto scalare, l'operatore $T$ viene detto autoaggiunto se, indicando con $g(v,w)$ il prodotto scalare, per ogni $v,w$ appartenenti a $V$ si ha $g(T(v),w)=g(v,T(w))$.
Nel caso reale, autoaggiunto equivale a simmetrico e si applica la versione "ridotta" del teorema spettrale.

Nel caso complesso $V$ deve essere dotato di un prodotto hermitiano, l'operatore deve essere normale, deve essere normale anche la matrice associata, gli autovalori sono complessi ecc.[/quote]

A.S.: Con "Quali sono le differenze?" mi riferivo a Teorema spettrale - Teorema del mio prof, non a Endoformismo - Applicazione lineare.
Ok, quindi "operatore lineare" è sinonimo di "endomorfismo" e non di "applicazione lineare"... Il mio professore non usava la dizione "operatore", sicché pensavo si riferisse a qualsiasi trasformazione lineare, e invece no, solo agli endomorfismi. Giusto?
Dunque, in soldoni, la differenza è che il Teorema Spettrale ha valenza più generale?

[Sk_Anonymous]

"Sergio":[quote="giuliofis"]Ok, quindi "operatore lineare" è sinonimo di "endomorfismo" e non di "applicazione lineare"... Il mio professore non usava la dizione "operatore", sicché pensavo si riferisse a qualsiasi trasformazione lineare, e invece no, solo agli endomorfismi. Giusto?

Se la sua proposizione comincia con "Sia ... un endomorfismo simmetrico" come potresti pensare che si riferisce a qualsiasi trasformazione lineare?
[/quote]
Sì scusa, hai ragione, ho confuso le due pagine di Wikipedia... Parla di operatori quando parla di operatori autoaggiunti ma parla di endomorfismi nel Teorema Spettrale... Scusami ho letto male... Infatti mi tornava poco, sennò come faccio a diagonalizzare una matrice non quadrata?

"Sergio":
[quote="giuliofis"]Dunque, in soldoni, la differenza è che il Teorema Spettrale ha valenza più generale?

È la prima cosa che ti ho detto [/quote]
Sì, ma magari poteva esserci dell'altro che non avevo colto.

Molte grazie!

[Sk_Anonymous]

"Sergio":[quote="giuliofis"]Sì scusa, hai ragione, ho confuso le due pagine di Wikipedia... Parla di operatori quando parla di operatori autoaggiunti ma parla di endomorfismi nel Teorema Spettrale... Scusami ho letto male... Infatti mi tornava poco, sennò come faccio a diagonalizzare una matrice non quadrata?

Niente scuse
Piuttosto tieni presente che "endomorfismo" e "operatore lineare" sono la stessa cosa e si può definire un endomorfismo / operatore lineare su qualsiasi spazio vettoriale.
[/quote]
Terrò presente. Non sapevo che "operatore lineare" fosse sinonimo di "endomorfismo", pensavo piuttosto che lo fosse di "applicazione lineare". Mille grazie per la precisazione.

"Sergio":
Quando invece si parla di "operatore autoaggiunto" è necessario che lo spazio vettoriale sia dotato di un prodotto scalare (altrimenti non potresti definire "autoaggiunto"), e questo anche per il teorema (comunque si voglia chiamarlo) che afferma l'esistenza di basi ortonormali (come faresti a definire una base ortonormale senza un prodotto scalare?).

Beh sì, certo, il professore ce l'ha ripetuto mille volte che per parlare di lunghezze e ortogonalità è necessario un prodotto scalare.
Mi mancavano la precisazione di che cosa fosse sinonimo "operatore" e la definizione di "autoaggiunto".
Ora ho capito, grazie ancora!
[size=85]
PS: Algebra Lineare e Geometria Affine sono, per il momento, i due corsi che più mi sono piaciuti quest'anno! Sono veramente delle materie magnifiche![/size]

[Sk_Anonymous]

"Sergio":[quote="giuliofis"]Terrò presente. Non sapevo che "operatore lineare" fosse sinonimo di "endomorfismo", pensavo piuttosto che lo fosse di "applicazione lineare".

Più in generale, puoi definire un'applicazione da un qualsiasi dominio in un qualsiasi codominio, ma per operatore si intende spesso (dubito che vi sia assolutà uniformità di vedute) un'applicazione da un insieme, ma anche dal prodotto cartesiano di $n$ copie di un insieme, in se stesso.
Un operatore unario è del tipo $A to A$; è tale ad esempio l'operatore $-$ (meno) che cambia qualsiasi numero intero (o razionale, o reale) nel suo opposto.
Un operatore binario è del tipo \(A \times A \rightarrow A\); esempi facili sono gli operatori $+$ e \(\times\).
Ecc.[/quote]

Non le sapevo queste cose... Sono molto interessanti, grazie!
Sono anche indeciso, l'anno prossimo, se scegliere tra i corsi liberi il primo esame di Algebra di Matematica...