Catena discendente di chiusi compatti
Sia $K_1 sup K_2 sup....$ una catena discendente numerabile di chiusi e compatti non vuoti di uno spazio topologico.
Allora $nn {K_n|n in NN}!=O/$
Dimostrazione:
per ogni $n in NN $ l'insieme $K_1-K_n$ è aperto in $K_1$.
Basta adesso osservare che l'intersezione dei chiusi $K_n$ è vuota se e solo se gli aperti $K_1-K_n$ formano un ricoprimento aperto di $K_1$ e si ha la tesi perchè questo ricoprimento non ammette un sottoricoprimento aperto finito.
Però non capisco come il fatto che l'intersezione dei chiusi $K_n$ sia vuota implica che gli aperti $K_1-K_n$ formano un ricoprimento aperto di $K_1$.
Potete spiegarmelo??
Allora $nn {K_n|n in NN}!=O/$
Dimostrazione:
per ogni $n in NN $ l'insieme $K_1-K_n$ è aperto in $K_1$.
Basta adesso osservare che l'intersezione dei chiusi $K_n$ è vuota se e solo se gli aperti $K_1-K_n$ formano un ricoprimento aperto di $K_1$ e si ha la tesi perchè questo ricoprimento non ammette un sottoricoprimento aperto finito.
Però non capisco come il fatto che l'intersezione dei chiusi $K_n$ sia vuota implica che gli aperti $K_1-K_n$ formano un ricoprimento aperto di $K_1$.
Potete spiegarmelo??
Risposte
Sono le leggi di De Morgan, mi pare: il complementare dell'unione è uguale all'intersezione dei complementari. Quindi dire che un'intersezione è vuota equivale a dire che l'unione dei complementari ricopre tutto l'insieme ambiente.
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