Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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data la retta $x=2t y=3t Z=t$
1)trovare la proiezione ortogonale di r sul paino $x+2y+z+h=0$ con h in $R$
2)per quali valori di h la retta proiezione ortogonale è un sottospazio di R3 di dimensione 1?
3)trovare tra le rette proiezioni ortogonale quelle tangenti alla sfera di eq. $x^2+y^2+z^2+2x-4y+6z+5=0$
risoluzione:
1)la retta proiezione ortogonale mi è venuta r': $x+z-y=0 x+2y+z+h=0$
2)ogni retta di R3 passante per l'origine è un sottospazio di R3 di dimensione 1, ...
salve. scusatemi ma non sapevo come spiegarmi meglio in poche parole, ma è molto più complesso di come sembra.
allora cerco di spiegarmi al meglio.
Sia un punto P di coordinate(x,y), immaginatelo come un uomo, con un angolo di visuale delta. con direzione teta, dove lo zero dell'angolo teta è il Nord.
come posso verificare se un punto Pi appartiene alla "visuale" dell'uomo.
Graizie in anticipo
Buongiorno! Sto facendo un esercizio sulla decomposizione LU ma sono bloccato..in pratica ho questa matrice $ | ( alpha , 2alpha , -alpha , -alpha , alpha ),( 1 , 2 , 1 , 1 , 5 ),( 1 , 2 , alpha , alpha , 3+3alpha ) | $ con $ alpha in CC $ e devo calcolare la decomposizione LU e, per i valori di $ alpha $ per i quali non è possibile, una decomposizione PA = LU.
Facendo la decomposizione LU ho seguito questi passi:
-PASSO 1
$ E_11(alpha^-1) = | ( 1 , 2 , -1 , -1 , 1 ),( 1 , 2 , 1 , 1 , 5 ),( 1 , 2 , alpha , alpha , 3+3alpha ) | $
-PASSO 2
$ E_21(-1)E_31(-1) = | ( 1 , 2 , -1 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 2 , 2 , 4 ),( 0 , 0 , alpha+1 , alpha+1 , 2+3alpha ) | $
-PASSO 3
$ E_22(1/2) = | ( 1 , 2 , -1 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 1 , 2 ),( 0 , 0 , alpha+1 , alpha+1 , 2+3alpha ) | $
-PASSO 4
$ E_32(-1) = | ( 1 , 2 , -1 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 1 , 2 ),( 0 , 0 , alpha , alpha , 3alpha ) | $
-PASSO 4
$ E_33(alpha^-1) = | ( 1 , 2 , -1 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 1 , 2 ),( 0 , 0 , 1 , 1 , 3 ) | $
Ora qui ho dei ...
Ciao, amici! Trovo un esercizio sul Sernesi (Geometria I, p. 149, es. 3) che mi lascia perplesso... "Sia \(H\subset\mathbb{R}^3\) il piano di equazione \(X_1+X_2-X_3=0\) e sia \(\mathbf{u}=(0,1,1)\). Dopo aver verificato che \(\mathbb{R}^3=H\oplus \langle\mathbf{u}\rangle\), trovare l'espressione analitica della proiezione \(p:\mathbb{R}^3\to H\) nella direzione \(\langle\mathbf{u}\rangle\)".
Ecco, a me sembra proprio che \(\mathbb{R}^3\ne H\oplus \langle\mathbf{u}\rangle\)... Mi sembra anzi ...
Buon pomeriggi, posto un problema, e vorrei sapere se è corretto ...
Sia $V$ uno spazio vettoriale sul campo $\mathbb{K}$ e $W$ un sottospazio di $V.$ Si dice che due
vettori $v_1$ e $v_2$ in $V$ sono equivalenti rispetto a $W$, $v_1 \sim v_2$ (fissato $W$), se
\begin{align*}v_1 - v_2 \in W.\end{align*}
1)Dimostrare che questo definisce una relazione di equivalenza su ...
Ciao a tutti sto provando a risolvere questo esercizio:
Nell'insieme $RR$-(1) si consideri la seguente operazione:
$(a)*(b)$=$((a-1)*(b-1))/(2)$+1
e si provi che essa defi nisce un gruppo abeliano.
Per risolvere l'esercizio ho cominciato a dimostrare che l'operazione è commutativa:
[$((a-1)*(b-1))/(2)$+1]+[$((a^{\prime}-1)*(b^{\prime}-1))/(2)$+1]=0 giungendo alla forma $a*(b-1) + a^{\prime} *(b^{\prime}-1)-b-b^{\prime} +6=0$
Il chè evidenzia che effettivamente l'equazione ha senso se e solo b sia diverso dai 1. E' quindi valida per ...
Mi servirebbe una mano con l'inversione circolare rispetto al cerchio unitario nel piano complesso.
So che l'inversione rispetto al cerchio unitario è così definita:
$\lambda(z)=z/|z|^2=1/z^(-)$, definita su $CC\{0}$, dove $z^(-)$ è il coniugato di $z$.
Avendo questa retta $r: (1+i)*z+(1-i)z^(-)+2=0$, dovrei arrivare ad ottenere che la sua immagine tramite la riflessione è $\lambda(z)=|z-(-1+i)/2|$, ma non ho la minima idea di come riuscirci.
Qualcuno mi illumina?
Salve a tutti, vorrei avere dei chiarimenti sul seguente esercizio: dati i vettori $vec(OA)=vec(i)+2vec(j)+vec(k),vec(OB)=2vec(i)+vec(j)+2vec(k),vec(OC)=vec(i)+vec(j)+vec(k)$ devo verificare che i tre siano complanari senza l'ausilio di matrici, rango (ancora dobbiamo farli). Io avevo pensato di trovare l'equazione del piano generato da due dei vettori applicati e che includesse il punto $(0,0,0)$. Dopo per verificare se il terzo vettore ci appartenesse o meno, ho pensato di trovare l'equazione del piano che avesse come vettori applicati il terzo e il primo ...
Ciao a tutti, ho bisogno di un parere su un esercizio la cui soluzione non mi convince per niente.
Prima di tutto il mio esercizio mi chiede di trovare un omomorfismo $f: RR^3 \to RR^3$ (se vi serve il testo e la soluzione si trovano qui), la cui matrice associata che ho calcolato è:
$A = ((2,0,0),(1,sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2),(1-sqrt(2),sqrt(2)/2,sqrt(2)/2))$
Successivamente l'esercizio mi chiede:
Stabilire se esiste una base di $RR^3$ tale che la matrice associata a f rispetto ad essa (nel dominio e nel codominio) sia in ...
PREAMBOLO
Come da titolo mi ritrovo a studiare la definizione di base di uno spazio vettoriale e trovo
"Una base è un sistema di vettori generatori linearmente indipendente"
Ok che cos'è un sistema di generatori? Lo so e quindi dico
"Un sistema di vettori genera uno spazio vettoriale A solo se l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari di tali vettori coincide proprio con A, in altri termini per ogni vettore $vec a$ che appartiene ad A posso rappresentarlo come ...
Si consideri il sistema di equazioni lineari:
$\{(kx + y + z = 1),(y + z = k),(3x + ky + 2z = 2):}$
a) Discutere l’esistenza e unicità di soluzioni del sistema lineare al variare di $k in R$
b) Determinare le eventuali soluzioni del sistema al variare di k.
Per ora io ho fatto così. Mi sono trovato il determinante:
$|(k,1,1),(0,1,1),(3,k,2)|$ $=$ $k(2-k)$
Quindi so che per $k!= 0 , 2 $ il sistema è compatibile, svolgo quindi cramer per trovarmi le soluzioni:
$x=|(1,1,1),(k,1,1),(2,k,2)|/[k(2-k)]$ ...
Ciao, ragazzi, sono per l'n-esima volta qui con un esercizio su piani e rette dal Sernesi, Geometria I (p. 133, es. 14 - dove il testo usa simboli corsivi simili a quelli manoscritti qui uso lettere greche, perché con LaTeX non riesco a produrli...)...
Si tratta di trovare delle equazioni cartesiano della retta \(\tau\subset\mathbf{A}^3(\mathbb{R})\) passante per un punto $Q$ e complanare con altre due rette \(\rho\) e \(\sigma\) nei seguenti tre casi:
a) ...
Salve a tutti.
Ho una difficoltà su un esercizio di algebra tensoriale. Proviene da un compito d'esame di Geometria 4 di un paio di mesi fa; eccone il testo:
Siano $ V,W $due spazi vettoriali di dimensione 2 muniti di un prodotto scalare definito positivo. Sia $ v_0 in V $ con $ ||v_0||=1 $ e sia $W' sub W$ un sottospazio di dimensione 1. Sia $ f: V to V$ definita tramite $f(v)= <v,v_0>v_0$ e e sia $g: W to W $ la proiezione ortogonale sul sottospazio di ...
Salve a tutti, ho difficoltà con il seguente esercizio: ho due equazioni parametriche di due rette. La prima è $\{(x=-1+t),(y=3+t),(z=-t):}$ la seconda $\{(x=-s),(y=-s),(z=2+s):}$. Si osserva subito che le due rette sono parallele, e potrei definire come $\vec a$=$((i,j,-k))$ il vetttore direttore di entrambe le rette. Ma non riesco a trovare l'equazione parametrica (e vettoriale) del piano... Grazie a tutti. Avrei bisogno di altri due vettori direttori passanti per l'origine per trovare il piano, o ...
Salve a tutti! Avrei bisogno di un aiutino con il calcolo del rango delle matrici.
Ho una matrice A= (1 -1 0; 0 h 1; 2 0 -h; 1 1 1) (con il ; ho separato le varie righe!) Devo calcolare il rango al variare di h.
Mi calcolo il determinante di un minore estratto qualsiasi di ordine 2: |M2|= |1 0; 0 1| =1; siccome |M2| diverso da 0 il rango sarà compreso tra 2 e 3. Devo verificare gli orlati di ordine 3 se hanno determinante nullo o meno.
|M3| = |1 -1 0; 0 h 1; 2 0 -h; 1 1 1|; quando applico ...
Ciao, amici, sono di nuovo qua con un esercizio del Sernesi -5 a p. 132- la cui soluzione non coincide con quella che trovo io...
Devo verificare se i tre piani di \(\mathbf{A}^3(\mathbb R)\) equazioni cartesiane
$X-Y+Z=0," "-X+3Y-5Z+2=0," "Y-2Z+1=0$
appartengono ad uno stesso fascio o no. Lo farei controllando se l'intersezione dei tre piani è una retta, risolvendo il sistema
\[\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&3&-5\\0&1&-2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\-1\end{pmatrix}\]
che mi ...
Ciao, amici! Sto eseguendo degli esercizi* che propongono di determinare per quali valori di un parametro una terna di punti di \(\mathbf{A}^3(\mathbb{R})\) è allineata.
Direi che, scelto tra i tre punti -che chiamo per esempio \(A(a_1,a_2,a_3),B(b_1,b_2,b_3),C(c_1,c_2,c_3)\)- un punto a caso, diciamo $C$, bisogna verificare quando \(\overrightarrow{CA}\) e \(\overrightarrow{CB}\) siano linearmente dipendenti, nel qual caso direi che \(A,B,C\) sarebbero allineati, condizione che ...
Salve a tutti,
la mia prof a un certo punto di un teorema usa la seguente proprietà:
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Sia $X$ uno spazio topologico, $A,B\subset X$. Se $A$ è aperto
allora $A\cap\overline{B}\subset\overline{A\cap B}$.
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Non riesco a dimostrare questo fatto!!
E' evidente che $A\cap\overline{B}\subset\overline{A}\cap\overline{B}$.
Quindi ho pensato che in questo caso $\overline{A}\cap\overline{B}\subset\overline{A\cap B}$
(mentre in generale vale il viceversa).
Ho provato ad utilizzare l'ipotesi di apertura sfruttando il fatto
che ...
Questo è il mio primo post (dopo quello doveroso delle presentazioni) e lo sfrutto subito per vedere se il tempo che ho passato sui libri mi ha permesso di risolvere bene a questo esercizio che come ho scritto in titolo mi è capitato all'esame.
Traccia:
In uno spazio euclideo tridimensionale $E$, in cui sia fissato un riferimento cartesiano, si considerino il punto $p(1,0,-1)$, e le rette:
$r_1:\{(2x+y+1=0),(3y+z=0):}$
$r_2:\{(x-y=0),(x+y+z+2=0):}$
Si stabilisca la posizione relativa di ...
Il rango per righe di una matrice è uguale al rango per colonne: ho capito la dimostrazione, la procedura deduttiva, ma non riesco ad avere una visione intuitiva di questa proprietà. Qualcuno può aiutarmi a trovare una spiegazione che aiuti la "visione"/intuizione di questo teorema?
Grazie, ciao
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